Matfyz Wiki

Zemlicka 22.12.2015 predtermín

jankasvk at 2015-12-22 20:08:14

Čas: 90 minút
Zúčastnení: 5 (známky: 1,1,2,3,4)

Prvých 10 úloh po 1 bode:

  1. Definujte Eulerovu funkci a uveďte vzorec pro její výpočet.

  2. Popište pomocí podgrup všechny ekvivalence slučitelé s grupovou operací.

  3. Tvořé všechny funkce R→R\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} se skládaním grupu? Stručně zdůvodněte.

  4. Rozhodněte, zda tvoří množina {1,3} podgrupu grupy Z10∗(⋅)\mathbb{Z}^*_{10}(\cdot)? Stručně zdůvodněte.

  5. Nechť k∈1,...,nk\in{1,...,n}. Za jakých podmínek <k>=Zn<k> = \mathbb{Z}_n? Kolik podgrup řádu k má grupa Zn\mathbb{Z}_n?

  6. Existuje mezi každou dvojicí algeber stejného typu nějaký homomorfizmus? Stručně zdůvodněte.

  7. Uveďte příklady aspoň dvou kongruencí na desetiprvkové algebře.

  8. Rozhodněte, zda jsou izomorfní algebry Q(⋅,+,1)\mathbb{Q}(\cdot,+,1) a Z(⋅,+,1)\mathbb{Z}(\cdot,+,1). Stručně zdůvodněte.

  9. Charakterizujte ideály oboru polynomů bad tělesem.

  10. Definujte svaz a úplný svaz pomocí relace uspořádaní.

Ďalšie 4 úlohy po 2 bodoch:
11. Spočtete 13−113^{-1} v monoidu $\mathbb{Z}{19}(\cdot)$.
12. Nakreslete svaz kongruencí na algebře $\mathbb{Z}{19}(+,0,1)$.
13. Kolik podgrup řádu 4,5,6 a 7 má grupa Z1200(+)\mathbb{Z}_{1200}(+). Odůvodněte.
14. Existuje nekomutatívni 12-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.

Dve úlohy po 7 bodov:
15. Dokažte, že je průnik dvou kongruencí na algebře opět kongruence. Ověřte, že sjednocení kongruencí nemusí býť kongruence.
16. Zformulujte a dokažte větu o homomorfismu a 1. větu o izomorfismu pro grupy.

Na trojku 18 bodov.
Veľmi príjemná skúška, veľmi pomôže mať preriešené úlohy vopred :), viď iný topic.