# Zemlicka 22.12.2015 predtermín

<{ForumPost(poster="jankasvk", timestamp=2015-12-22 20:08:14)}>
Čas: 90 minút  
Zúčastnení: 5 (známky: 1,1,2,3,4)  
  
Prvých 10 úloh po 1 bode:  
1. Definujte Eulerovu funkci a uveďte vzorec pro její výpočet.  
2. Popište pomocí podgrup všechny ekvivalence slučitelé s grupovou operací.  
3. Tvořé všechny funkce $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se skládaním grupu? Stručně zdůvodněte.  
4. Rozhodněte, zda tvoří množina {1,3} podgrupu grupy $\mathbb{Z}^*_{10}(\cdot)$? Stručně zdůvodněte.  
5. Nechť $k\in{1,...,n}$. Za jakých podmínek $<k> = \mathbb{Z}_n$? Kolik podgrup řádu k má grupa  $\mathbb{Z}_n$?  
6. Existuje mezi každou dvojicí algeber stejného typu nějaký homomorfizmus? Stručně zdůvodněte.  
7. Uveďte příklady aspoň dvou kongruencí na desetiprvkové algebře.  
8. Rozhodněte, zda jsou izomorfní algebry $\mathbb{Q}(\cdot,+,1)$ a $\mathbb{Z}(\cdot,+,1)$. Stručně zdůvodněte.  
9. Charakterizujte ideály oboru polynomů bad tělesem.  
10. Definujte svaz a úplný svaz pomocí relace uspořádaní.  
  
Ďalšie 4 úlohy po 2 bodoch:  
11. Spočtete $13^{-1}$ v monoidu $\mathbb{Z}_{19}(\cdot)$.  
12. Nakreslete svaz kongruencí na algebře $\mathbb{Z}_{19}(+,0,1)$.  
13. Kolik podgrup řádu 4,5,6 a 7 má grupa $\mathbb{Z}_{1200}(+)$. Odůvodněte.  
14. Existuje nekomutatívni 12-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.  
  
Dve úlohy po 7 bodov:  
15. Dokažte, že je průnik dvou kongruencí na algebře opět kongruence. Ověřte, že sjednocení kongruencí nemusí býť kongruence.  
16. Zformulujte a dokažte větu o homomorfismu a 1. větu o izomorfismu pro grupy.  
  
Na trojku 18 bodov.  
Veľmi príjemná skúška, veľmi pomôže mať preriešené úlohy vopred :), viď iný topic.
<{/ForumPost}>