Matfyz Wiki
Zadání dnešní písemky:
1) Telegraf, dána relativní četnost teček/čárek a pravděpodobnosti zkreslení tečky/čárky. Je-li přijata čárka, s jakou pravděpodobností byla také skutečně vyslána? [5 bodů] 2) Meteorologové předpovídají prudké ochlazení, které může přijít kdykoliv během následujících 48 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že přijde zítra mezi 15:45 a 24:00? [3 body] 3) Hráč v jednom kole hry hodí dvěma kostkami, které mají obě na stranách 1, 1, 1, 3, 3 a 5 teček a hody sečte. a) Jaké má součet rozdělení, jaká je jeho střední hodnota a rozptyl? [5 bodů] b) Jaká je pravděpodobnost, že po 4 kolech bude celkový součet alespoň 12? [3 body] c) Jaká je pravděpodobnost, že po 12 kolech bude celkový součet alespoň 62? [5 bodů] 4) Dva závodníci F1 budou potřebovat během 3 minut do boxu, jeden tam potřebuje strávit 15 sekund a druhý 25 sekund. Jaká je pravděpodobnost, že některý z nich bude muset čekat? [4 body] 5) Vysvětlit [5x4 body]: a) Distribuční funkce (definice, vlastnosti, příklad) b) Čebyševova nerovnost a věta (znění, důkaz) c) Model lineární regrese d) Rozdíl mezi párovým a dvouvýběrovým testem e) Na příkladu odhalování falešné mince popsat testování hypotéz
Za přesná čísla (hlavně u 3c) a bodování neručím, píšu to z hlavy. Čas na to byl 2 hodiny + cca 15 minut prodloužení ("ten pátý příklad je moc psaní"). Dozírali tři cvičící.
Komentář:
Klasický příklad na Bayesovu větu.
Interval v rovnoměrném rozdělení, vyjde cca 17%. Trochu jsem se tam pozastavoval nad tím, že nevíme přesně, "od jakého okamžiku dnes" platí ta předpověď 48 hodin, ale v konečném důsledku na tom nezáleží.
a) Tady jsem si natvrdo nakreslil tabulku 6x6, do ní jednotlivé součty a spočítal, kolik jich tam je. Náhodná veličina X (součet obou kostek) pak nabývá pouze hodnot 2, 4, 6, 8 a 10, a to s různou pravděpodobností. Střední hodnota a rozptyl se vypočtou přímo z definice.
b) P(součet alespoň 12) = 1 - P(součet nejvýše 11). Pro čtyři kola připadá v úvahu jen 2+2+2+2=8 a čtyři varianty na 2+2+2+4=10.
c) Centrální limitní věta.Klasický příklad na geometrickou pravděpodobnost. Mějme čtverec [0, 180]^2, libovolný bod (A, B) tohoto čtverce odpovídá času příjezdu prvního a druhého jezdce. Kolize nastane, když buď A <= B <= A + 15 nebo B <= A <= B + 25. Tyto oblasti tedy do čtverce vyznačíme a výsledná pravděpodobnost je podíl obsahu této "kolizní oblasti" a celkové plochy čtverce. Vyjde cca 21%.
No comment.
P.S.:
Na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/cv ... 022009.htm jsou už výsledky :cool:.