# Zkouška 13.2.2009

<{ForumPost(poster="Xerxes", timestamp=2009-02-13 19:49:38)}>
Zadání dnešní písemky:  

    1) Telegraf, dána relativní četnost teček/čárek a pravděpodobnosti zkreslení tečky/čárky. Je-li přijata čárka, s jakou pravděpodobností byla také skutečně vyslána? [5 bodů]
    
    2) Meteorologové předpovídají prudké ochlazení, které může přijít kdykoliv během následujících 48 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že přijde zítra mezi 15:45 a 24:00? [3 body]
    
    3) Hráč v jednom kole hry hodí dvěma kostkami, které mají obě na stranách 1, 1, 1, 3, 3 a 5 teček a hody sečte.
    a) Jaké má součet rozdělení, jaká je jeho střední hodnota a rozptyl? [5 bodů]
    b) Jaká je pravděpodobnost, že po 4 kolech bude celkový součet alespoň 12? [3 body]
    c) Jaká je pravděpodobnost, že po 12 kolech bude celkový součet alespoň 62? [5 bodů]
    
    4) Dva závodníci F1 budou potřebovat během 3 minut do boxu, jeden tam potřebuje strávit 15 sekund a druhý 25 sekund. Jaká je pravděpodobnost, že některý z nich bude muset čekat? [4 body]
    
    5) Vysvětlit [5x4 body]:
    a) Distribuční funkce (definice, vlastnosti, příklad)
    b) Čebyševova nerovnost a věta (znění, důkaz)
    c) Model lineární regrese
    d) Rozdíl mezi párovým a dvouvýběrovým testem
    e) Na příkladu odhalování falešné mince popsat testování hypotéz

Za přesná čísla (hlavně u 3c) a bodování neručím, píšu to z hlavy. Čas na to byl 2 hodiny + cca 15 minut prodloužení ("ten pátý příklad je moc psaní"). Dozírali tři cvičící.  
  
Komentář:  
  
1) Klasický příklad na Bayesovu větu.  
  
2) Interval v rovnoměrném rozdělení, vyjde cca 17%. Trochu jsem se tam pozastavoval nad tím, že nevíme přesně, "od jakého okamžiku dnes" platí ta předpověď 48 hodin, ale v konečném důsledku na tom nezáleží.  
  
3) a) Tady jsem si natvrdo nakreslil tabulku 6x6, do ní jednotlivé součty a spočítal, kolik jich tam je. Náhodná veličina X (součet obou kostek) pak nabývá pouze hodnot 2, 4, 6, 8 a 10, a to s různou pravděpodobností. Střední hodnota a rozptyl se vypočtou přímo z definice.  
b) P(součet alespoň 12) = 1 - P(součet nejvýše 11). Pro čtyři kola připadá v úvahu jen 2+2+2+2=8 a čtyři varianty na 2+2+2+4=10.  
c) Centrální limitní věta.  
  
4) Klasický příklad na geometrickou pravděpodobnost. Mějme čtverec \[0, 180]^2, libovolný bod (A, B) tohoto čtverce odpovídá času příjezdu prvního a druhého jezdce. Kolize nastane, když buď A <= B <= A + 15 nebo B <= A <= B + 25. Tyto oblasti tedy do čtverce vyznačíme a výsledná pravděpodobnost je podíl obsahu této "kolizní oblasti" a celkové plochy čtverce. Vyjde cca 21%.  
  
5) No comment.  
  
P.S.:  
Na [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/cv ... 022009.htm](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/cviceni/0809zs/NMAI059/13022009.htm) jsou už výsledky :cool:.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="yderf", timestamp=2009-02-14 01:18:33)}>
Pokusim sa upresnit cisla:  
  
1: bodiek je 55%, zkreslenie ciarky je 0.95, bodky 0.97  
3c: 15 kol  
  
btw. neviem ako vam, no ja z mojho poctu bodov som usudil, ze mi zobrali aj riesenie 2c cez CLV ;-)
<{/ForumPost}>