1. část

  1. Hodnota determinantu regularní matice řádu 6 se nezmění

    • odečtením posledního sloupce od prvního

    • vynásobením zleva dolní maticí s 1 na diagonále

    • transpozicí

    • záměnou řádků

  2. Je-li p(x) polynom stupně p

    • existuje polynom r(x) nad Z stupně nejvýše p-1 takový, že: pro všechna x ležící na Zp: r(x) = p(x)

    • jsou-li x, y ležící na Z různá, pak p(x) se nerovná r(x)

    • je-li 1 kořenem p(x) pak suma(od i do p) aia_{i} = 0

    • je-li a0a_{0} = 0, pak 0 je kořenem p(x)

  3. Každá regulární horní trojúhelníková matice

    • má všechna vlastní čísla nenulová

    • má všechna vlastní čísla na diagonále

    • má vlastní vektory standartní báze

    • je diagonalizovatelná

  4. Pro Jordanův normální tvar platí

    • geometrická násobnost vlastního čísla = algebraická násobnost vlastního čísla

    • Jordanův normální tvar A(na druhou) je diagonální matice

    • součet geometrických násobností všech vlastních čísel je roven n

    • algebraická násobnost každého vlastního čísla je rovna 1

  5. Pro skalární součin a jeho normu platí

    • ||u|| <=(mensi rovno) ||v|| =>(implikuje) ||-u|| >=(vetsi rovno) -||v||

    • <u|v> + <v|u> = |u+v|^2 - ||u||^2 -||v||^2

    • ||u-v|| <=(mensi rovno) ||u|| + ||v||

    • <u|v> <=(mensi rovno) ||u|| + ||v||

  6. matice g(u) = u12u_{1}^{2} - u22u_{2}^{2} + u32u_{3}^{2}

    • je singulární

    • je pozitivně definitní

    • je diagonální

    • má všechna vlastní čísla reálná nezáporná

2. část

  1. Uveďte a dokažte správnost Lagrangeovy interpolace (8/10).

  2. Přehledově sepište, co víte o lineárních zobrazeních zachovávajících skalární součin (8). Mimo jiné je nadefinujte (1) a uveďte věty o jejich charakterizaci (3).

  3. Počet koster tripartitního grafu K1,2,nK_{1,2,n}, tedy grafu s vrcholy u1,u2,u3,v1,v2,…,vnu_1,u_2,u_3,v_1,v_2, \dots, v_n, kde u1u_1 je spojen se všemi vrcholy, u2,u3u_2,u_3 s vrcholy u1,v1,v2,…,vnu_1,v_1, v_2, \dots, v_n a v1,…,vnv_1, \dots, v_n s vrcholy u1,u2,u3u_1,u_2,u_3 (20).

  4. (26) Nechť nám nepřítel zadal matici

A=(2−11−12x1−1y). \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & x \\ 1 & -1 & y \end{pmatrix}.

Zvolte reálné parametry x,yx,y tak, aby matice měla vlastní čísla 1,2,3. Následně najděte matici R\mathbf{R}, aby AR=RD\mathbf{AR} = \mathbf{RD}, kde

D=(100020003). \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.