### 1. část 
1. Hodnota determinantu regularní matice řádu 6 se nezmění
   * odečtením posledního sloupce od prvního
   * vynásobením zleva dolní maticí s 1 na diagonále
   * transpozicí
   * záměnou řádků

2. Je-li p(x) polynom stupně p 
   * existuje polynom r(x) nad Z stupně nejvýše p-1 takový, že: pro všechna x ležící na Zp: r(x) = p(x)
   * jsou-li x, y ležící na Z různá, pak p(x) se nerovná r(x)
   * je-li 1 kořenem p(x) pak suma(od i do p) $a_{i}$ = 0
   * je-li $a_{0}$ = 0, pak 0 je kořenem p(x)

3. Každá regulární horní trojúhelníková matice
   * má všechna vlastní čísla nenulová
   * má všechna vlastní čísla na diagonále
   * má vlastní vektory standartní báze
   * je diagonalizovatelná

4. Pro Jordanův normální tvar platí
   * geometrická násobnost vlastního čísla = algebraická násobnost vlastního čísla
   * Jordanův normální tvar A(na druhou) je diagonální matice
   * součet geometrických násobností všech vlastních čísel je roven n
   * algebraická násobnost každého vlastního čísla je rovna 1

5. Pro skalární součin a jeho normu platí
   * ||u|| <=(mensi rovno) ||v|| =>(implikuje) ||-u|| >=(vetsi rovno) -||v||
   * <u|v> + <v|u> = |u+v|^2 - ||u||^2 -||v||^2
   * ||u-v|| <=(mensi rovno) ||u|| + ||v||
   * <u|v> <=(mensi rovno) ||u|| + ||v||

6. matice g(u) =  $u_{1}^{2}$ - $u_{2}^{2}$ + $u_{3}^{2}$
   * je singulární
   * je pozitivně definitní
   * je diagonální
   * má všechna vlastní čísla reálná nezáporná



### 2. část 
1. Uveďte a dokažte správnost Lagrangeovy interpolace (8/10).
2. Přehledově sepište, co víte o lineárních zobrazeních zachovávajících skalární součin (8).
Mimo jiné je nadefinujte (1) a uveďte věty o jejich charakterizaci (3).
3. Počet koster tripartitního grafu $K_{1,2,n}$, tedy grafu s vrcholy $u_1,u_2,u_3,v_1,v_2, \dots, v_n$, kde $u_1$ je spojen se všemi vrcholy, $u_2,u_3$ s vrcholy $u_1,v_1, v_2, \dots, v_n$ a $v_1, \dots, v_n$ s vrcholy $u_1,u_2,u_3$ (20).
4. (26) Nechť nám nepřítel zadal matici

$$
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & x \\ 1 & -1 & y \end{pmatrix}.
$$

Zvolte reálné parametry $x,y$ tak, aby matice měla vlastní čísla 1,2,3. Následně najděte matici $\mathbf{R}$, aby $\mathbf{AR} = \mathbf{RD}$, kde

$$
\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
$$