Skúška Fiala 11. 06. 2026 B

Rozstrel

  1. Pre matice A,B∈Tn x nA, B \in T^{n\,x\,n} platí:

    • det(AB)=0=>det A=0∨det B=0det(AB) = 0 => det \,A = 0 \lor det \,B = 0

    • det(ABT)=det(BAT)det(AB^{T}) = det(BA^{T})

    • det(A+B)=det A+det Bdet(A+B) = det \,A + det \,B

    • det A≠0=>det B=det(A−1BA)det\,A\ne 0 => det\,B = det(A^{-1}BA)

  2. Pre p(x) nad T stupňa n≥1n \ge 1 platí:

    • x1=0=>a0=0x_1 = 0 => a_0 = 0

    • a0=0=>0∈{x1,…,xn}a_0 = 0 => 0 \in \{x_1, \dots, x_{n}\}

    • (xi−x)(x_i-x) delí p(x) ∀i∈{1,…,n}\forall i \in \{1, \dots, n\}

    • x1+⋯+xn=anx_1 + \cdots + x_n = a_n

  3. Pre reálne vlastné číslo matice A∈Rn x nA \in \R^{n\,x\,n}, n >= 2, s aritmetickou násobnosťou = n platí:

    • det A=λndet \, A = \lambda^{n}

    • geometrická násobnosť λ=n\lambda = n

    • JA=λIJ_{A} = \lambda I

    • pA(x)=(λ−x)np_{A}(x) = (\lambda - x)^{n}

  4. Pre diagonalizovateľnú maticu A∈Z53 x 3A \in \Z^{3\,x\,3}_{5} platí:

    • existuje regulárna matica ∈Z53 x 3\in \Z^{3\,x\,3}_{5}: R−1ARR^{-1}AR je diagonálna

    • má 3 rôzne vlastné čísl

    • každému vlastnému číslu zodpovedajú práve 3 vlastné vektory

    • možno z vlastných vektorov vybrať 3 lineárne nezávislé

  5. x′x' je ortogonálna projekcia xx do podpriestoru UU, x′′x'' je ortogonálna projekcia xx do U⊥U^{\perp}

    • x′⊥x′′x' \perp x''

    • x=x′+x′′x = x' + x''

    • x⊥x′x \perp x'

    • ⟨x∣x′⟩+⟨x∣x′′⟩=0\braket{ x | x'} + \braket{x | x''} = 0

  6. A∈Tn x nA \in T^{n\, x\, n} je pozitívne definitná; n≥2n \ge 2 a skladá sa z blokov a1,1,aH,aa_{1,1}, a^{H}, a a A~Ã

    • A~∧aaHÃ \land aa^{H} sú hermitovské

    • A~−1a1,1aaHÃ-\frac{1}{a_{1,1}}aa^{H} je pozitívne definitná

    • ∀x∈Cn−1\forall x \in \mathbb{C}^{n-1}: a1,1xHA~x≥xHaaHxa_{1,1}x^{H}Ãx \ge x^{H}aa^{H}x

    • aaHaa^{H} je regulárna

  7. B je matica bilineárnej formy voči báze B, C je jej matica voči báze C

    • matice B a C majú rovnakú hodnosť

    • BC=C[id]BBC = _{C}[id]_{B}

    • BB[id]C=C[id]BTCB _{B}[id]_{C}=_{C}[id]_{B}^{T}C

    • B=C−1B=C^{-1}

Test

  1. Veta o skalárnom súčine 2 vektorov a Gramovej matici.

  2. Prehľadovo spíšte determinant.

  3. Pomocou Cauchy-Schwarzovej nerovnosti určite, či platí x24+y29+z216≥(x+y+z)229\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} \ge \frac{(x+y+z)^2}{29}. Nápoveda: zložky vektora môžu byť aj zlomky.

  4. Kvadratická forma na R3\R^3 má voči štandardnej báze analytické vyjadrenie g(u)=x2+2y2+az2+2xy+2yzg(u) = x^2+2y^2+az^2+2xy+2yz, pričom a∈Ra \in \R je parameter. Určite maticu g(u) voči báze B=((1,1,0)T,(0,1,1)T,(1,0,1)T)B=((1,1,0)^{T}, (0, 1, 1)^{T}, (1, 0, 1)^{T}).