# Skúška Fiala 11. 06. 2026 B
  
## Rozstrel 
  
1. Pre matice $A, B \in T^{n\,x\,n}$ platí:
   * $det(AB) = 0 => det \,A = 0 \lor det \,B = 0$
   * $det(AB^{T}) = det(BA^{T})$
   * $det(A+B) = det \,A + det \,B$
   * $det\,A\ne 0 => det\,B = det(A^{-1}BA)$
  
2. Pre p(x) nad T stupňa $n \ge 1$ platí:
   * $x_1 = 0 => a_0 = 0$
   * $a_0 = 0 => 0 \in \{x_1, \dots, x_{n}\}$
   * $(x_i-x)$ delí p(x) $\forall i \in \{1, \dots, n\}$
   * $x_1 + \cdots + x_n = a_n$
  
3. Pre reálne vlastné číslo matice $A \in \R^{n\,x\,n}$, n >= 2, s aritmetickou násobnosťou = n platí:
   * $det \, A = \lambda^{n}$
   * geometrická násobnosť $\lambda = n$
   * $J_{A} = \lambda I$
   * $p_{A}(x) = (\lambda - x)^{n}$
  
4. Pre diagonalizovateľnú maticu $A \in \Z^{3\,x\,3}_{5}$ platí:
   * existuje regulárna matica $\in \Z^{3\,x\,3}_{5}$: $R^{-1}AR$ je diagonálna
   * má 3 rôzne vlastné čísl
   * každému vlastnému číslu zodpovedajú práve 3 vlastné vektory
   * možno z vlastných vektorov vybrať 3 lineárne nezávislé
  
5. $x'$ je ortogonálna projekcia $x$ do podpriestoru $U$, $x''$ je ortogonálna projekcia $x$ do $U^{\perp}$
   * $x' \perp x''$
   * $x = x' + x''$
   * $x \perp x'$
   * $\braket{ x | x'} + \braket{x | x''} = 0$
  
6. $A \in T^{n\, x\, n}$ je pozitívne definitná; $n \ge 2$ a skladá sa z blokov $a_{1,1}, a^{H}, a$ a $Ã$
   * $Ã \land aa^{H}$ sú hermitovské
   * $Ã-\frac{1}{a_{1,1}}aa^{H}$ je pozitívne definitná
   * $\forall x \in \mathbb{C}^{n-1}$: $a_{1,1}x^{H}Ãx \ge x^{H}aa^{H}x$
   * $aa^{H}$ je regulárna
  
7. B je matica bilineárnej formy voči báze B, C je jej matica voči báze C
   * matice B a C majú rovnakú hodnosť
   * $BC = _{C}[id]_{B}$
   * $B _{B}[id]_{C}=_{C}[id]_{B}^{T}C$
   * $B=C^{-1}$
  
  
## Test
  
1. Veta o skalárnom súčine 2 vektorov a Gramovej matici.
2. Prehľadovo spíšte determinant.
3. Pomocou Cauchy-Schwarzovej nerovnosti určite, či platí $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} \ge \frac{(x+y+z)^2}{29}$. Nápoveda: zložky vektora môžu byť aj zlomky.
4. Kvadratická forma na $\R^3$ má voči štandardnej báze analytické vyjadrenie $g(u) = x^2+2y^2+az^2+2xy+2yz$, pričom $a \in \R$ je parameter. Určite maticu g(u) voči báze $B=((1,1,0)^{T}, (0, 1, 1)^{T}, (1, 0, 1)^{T})$.