Hladík -- dědský den 2010

Jako dárek ke dni dětí jsme dostali: (variata B, ale od A se asi moc nelišila)

1. Definujte pojem positivně definitní matice. Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu.

2. Zadána čtvercová matice A řádu 3. Pomocí Cayley-Hamiltonovy věty vyjádřete:
   (a) $A^{-1}$ jako lineární kombinaci $A^2, A, I$
   (b) $A^{-2}$ jako lineární kombinaci $A^2, A, I$

3. Zadána čtvercová matice A řádu 5:

$$\begin{pmatrix}4 & 2& 0& 0& 0\cr1& 3& 0& 0& 0\cr0& 0& 2& 4& -4\cr0& 0& -1& 2& 1\cr0& 0& -1& 4& -1\cr\end{pmatrix}$$

Rozhodněte, zda $A^{-k}$ konverguje k nulové matici při $k \rightarrow \inf$. Spočítejte det(A).

4.Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:

(a) Pro permutace $p, q \in S_n$ plati: (p složeno q)^-1 = q^-1 složeno s p^-1
(b) Jsou-li matice adj(A), adj(B) podobné, pak i A, B jsou podobné.
(c) Jsou-li f, g, V -> R kvadratické formy, pak f + g je také kvadratická forma
(d) Pro každou matici A platí $(AA^T)^{-1} = (A^T)^{-1} A^{-1}$, kde $M^{-1}$ je pseudoinverze (ne inverze)

Pak jsem ještě dostal navíc zformulovat a dokázat Cayley-Hamiltonovu větu.

Musim dodat, ze Hladik byl na ustni neobycejne hodny. :)

Ale při opravování písemky moc nekoukal na postup, hlavně na výsledek.