# Hladík -- dědský den 2010

<{ForumPost(poster="paulie", timestamp=2010-06-01 18:29:34)}>
Jako dárek ke dni dětí jsme dostali: (variata B, ale od A se asi moc nelišila)  
  
1. Definujte pojem positivně definitní matice. Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu.  
  
2. Zadána čtvercová matice A řádu 3. Pomocí Cayley-Hamiltonovy věty vyjádřete:  
(a) $A^{-1}$ jako lineární kombinaci $A^2, A, I$  
(b) $A^{-2}$ jako lineární kombinaci $A^2, A, I$  
  
3. Zadána čtvercová matice A řádu 5:   
  
$$\begin{pmatrix}4 & 2& 0& 0& 0\cr1& 3& 0& 0& 0\cr0& 0& 2& 4& -4\cr0& 0& -1& 2& 1\cr0& 0& -1& 4& -1\cr\end{pmatrix}$$  
  
Rozhodněte, zda $A^{-k}$ konverguje k nulové matici při $k \rightarrow \inf$. Spočítejte det(A).  
  
4.Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:  
  
(a) Pro permutace $p, q \in S_n$ plati: (p složeno q)^-1 = q^-1 složeno s p^-1  
(b) Jsou-li matice adj(A), adj(B) podobné, pak i A, B jsou podobné.  
(c) Jsou-li f, g, V -> R kvadratické formy, pak f + g je také kvadratická forma  
(d) Pro každou matici A platí $(AA^T)^{-1} = (A^T)^{-1} A^{-1}$, kde $M^{-1}$ je pseudoinverze (ne inverze)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="paulie", timestamp=2010-06-01 18:30:55)}>
Pak jsem ještě dostal navíc zformulovat a dokázat Cayley-Hamiltonovu větu.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="rumlcajs", timestamp=2010-06-01 20:01:09)}>
Musim dodat, ze Hladik byl na ustni neobycejne hodny. :)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="paulie", timestamp=2010-06-01 21:12:28)}>
Ale při opravování písemky moc nekoukal na postup, hlavně na výsledek.
<{/ForumPost}>