Rozstřel

1. Laplaceův rozvoj 2. řádku regulární matice $A^{6 \times 6}$
   A) má 6 sčítanců a nenulový součet
   B) je roven $det A = \sum_{j = 1}^{6} a_{2,j} \, det (A^{2j})$
   C) má 6 nezáporných sčítanců
   D) je roven $6 \times$ det podmatice $A^{5 \times 5}$

2. Regulární matice $A \in \mathbb{C}^{n \times n}, n \ge 2$
   A) $AA^H$ je unitární
   B) $A+A^H$ je hermitovská
   C) $A + A^H$ je regulární
   D) $AA^H$ je hermitovská

3. $A, B \in \R$, $p_A(x) = p_B(x)$
   A) existuje regulární matice R: $A = RBR^{-1}$
   B) mají rovnakou množinu vlastních čísel
   C) A je podobná B
   D) A je singulární právě tehdy, když B je singulární

4. Regulární $A \in \R^{2 \times 2}$ je diagonalizovatelná právě tehdy, když
   A) $-2A$ je diagonalizovatelná
   B) $A$ je diagonální
   C) $A^{-1}$ je diagonalizovatelná
   D) $A+A^T$ je diagonalizovatelná

5. Libovolný skalární součin ve V nad $\mathbb{C}$
   A) $\vec{u} = 0 \lor \vec{v} = 0 \iff \lang\vec{u}; \vec{v}\rang=0$
   B) $\lang t\vec{u}; t\vec{u}\rang = t^2\lang\vec{u};\vec{u}\rang$
   C) $\lang\vec{u}; \vec{v} + \vec{w}\rang=\lang\vec{u};\vec{w}\rang+\lang\vec{u};\vec{v}\rang$
   D) $\lang\vec{u}; \vec{v}\rang + \lang\vec{v}+\vec{u}\rang \in \R$

6. $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ je pozitivně definitní, když
   A) $A^T$ je pozitivně definitní
   B) $a_{11}, ..., a_{nn} \in \R^+$
   C) $A$ je hermitovská, všechny vlastní čísla $\in \R$
   D) $\forall \vec{x} \in \mathbb{C}^n$, $\vec{x}$ je netriviální: $x^HAx \ge 0$

2. část

1. Vyslovte a dokažte větu o diagonalizaci speciálních komplexních matic.

2. Přehled o lineárních zobrazení, která zachovávají skalární součin.

3. Počet koster bipartitního grafu.

4. Matice s parametrem, zvolit parametry tak, aby vyšla daná vlastní čísla, poté diagonalizovat.