## Rozstřel
1. Laplaceův rozvoj 2. řádku regulární matice $A^{6 \times 6}$  
A) má 6 sčítanců a nenulový součet  
B) je roven $det A = \sum_{j = 1}^{6} a_{2,j} \, det (A^{2j})$  
C) má 6 nezáporných sčítanců  
D) je roven $6 \times$ det podmatice $A^{5 \times 5}$  
  
2. Regulární matice $A \in \mathbb{C}^{n \times n}, n \ge 2$  
A) $AA^H$ je unitární  
B) $A+A^H$ je hermitovská  
C) $A + A^H$ je regulární  
D) $AA^H$ je hermitovská 
  
3. $A, B \in \R$, $p_A(x) = p_B(x)$  
A) existuje regulární matice R: $A = RBR^{-1}$  
B) mají rovnakou množinu vlastních čísel  
C) A je podobná B  
D) A je singulární právě tehdy, když B je singulární  
  
4. Regulární $A \in \R^{2 \times 2}$ je diagonalizovatelná právě tehdy, když  
A) $-2A$ je diagonalizovatelná  
B) $A$ je diagonální  
C) $A^{-1}$ je diagonalizovatelná  
D) $A+A^T$ je diagonalizovatelná  
  
5. Libovolný skalární součin ve V nad $\mathbb{C}$  
A) $\vec{u} = 0 \lor \vec{v} = 0 \iff \lang\vec{u}; \vec{v}\rang=0$  
B) $\lang t\vec{u}; t\vec{u}\rang = t^2\lang\vec{u};\vec{u}\rang$  
C) $\lang\vec{u}; \vec{v} + \vec{w}\rang=\lang\vec{u};\vec{w}\rang+\lang\vec{u};\vec{v}\rang$  
D) $\lang\vec{u}; \vec{v}\rang + \lang\vec{v}+\vec{u}\rang \in \R$  
  
6. $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ je pozitivně definitní, když  
A) $A^T$ je pozitivně definitní  
B) $a_{11}, ..., a_{nn} \in \R^+$  
C) $A$ je hermitovská, všechny vlastní čísla $\in \R$  
D) $\forall \vec{x} \in \mathbb{C}^n$, $\vec{x}$ je netriviální: $x^HAx \ge 0$  

  
## 2. část
1. Vyslovte a dokažte větu o diagonalizaci speciálních komplexních matic.
2. Přehled o lineárních zobrazení, která zachovávají skalární součin.
3. Počet koster bipartitního grafu.
4. Matice s parametrem, zvolit parametry tak, aby vyšla daná vlastní čísla, poté diagonalizovat.