[Zk] 31.2.2005

Almer at 2006-02-01 12:46:09

Proto je Pick nejspise nekde pryc, a nedaval tam tedy na svoji stranku zadani vcerejsi prisemky, tak je tu pridam ja:

1.Dokazte ze vztahy

      u = sin(pi*x*y) - arctg(y/x)
      v = 3*x*y^2 + e^(x+y)

definuji na okoli bodu [u,v] = [pi/4,-2] hladke fuknce x,y promennych u,v takove, ze x[pi/4,-2] = -1 a y[pi/4,-2] = 1. Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)

2. Najdete globalni extremy funkce
    
     f(x,y,z) = x + y - z 

na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu

3. Najdete vsechna maximalni reseni diferencialni rovnice

     y' = y*tg(x) + 4*y^2*sin(x)

a urcete jejich definicni obor. Pak najdete vsechna partikularni reseni teto rovnice, ktera prochazeji bodem [x,y] = [pi/4, sqrt(2) / 2], urcete jejich definicni obora rozhodnete, za jdou na svem definicnim oboru omezene.

4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
    z = x^2 + 2*y^2
    z = 2*x^2 + 3*y^2
    y + 2x = 6
    2y = x^2

Jestli nekdo chcete tak muzu prilozit reseni, co si vzpominam, jak jsem to napsal, snad krome 3 prikladu. ten sem nemel.

Nejlepsi skore 42.5 bodu.....dalo asi 7 liid....asi 5 byl v sede zone...a asi 10 nedalo.

hippies at 2006-02-01 22:23:57

Almer wrote:Proto je Pick nejspise nekde pryc, ...

Byl na horách, na dovče :wink: .
Bylo to si myslím jedno z lehčích zadání, vše vyšlo hezky a ten integrál ani nechtěli vyčíslit, stačilo jim zintegrovat až do konce a to odečtení posledních mezí už být nemuselo, páč tam vycházely nějaký x^6 a tak.

qk_ at 2006-02-03 19:59:23

Muzeme mi dat hint jak na tohle???

Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)

Eubie at 2006-02-03 20:24:29

Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)

To je normální řetízkový pravidlo..

Almer at 2006-02-03 23:53:49

qk_ wrote:Muzeme mi dat hint jak na tohle???
Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)

Chainrule

dz/du = (dz/dx)(dx/du)+(dz/dy)(dy/du)

jeste vice napovedet?

Anonymous at 2006-02-04 10:44:31

Almer wrote:
qk_ wrote:Muzeme mi dat hint jak na tohle???
Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)
Chainrule
dz/du = (dz/dx)(dx/du)+(dz/dy)(dy/du)
jeste vice napovedet?

ano, prave s tim doma bojuju a proste nejak mi nejde ta druha cast, konkretne to dx/du a dy/du, nejak nevim jak na to, asi mi to dneska extremne nemysli, ale potrebuju se to naucit :)

Eubie at 2006-02-04 11:12:11

dz/du = (dz/dx)(dx/du)+(dz/dy)(dy/du)

Tak postupně. To, že se takhle rozepíše ta derivace podle chain rule je otázka naučení, je to podle věty o derivaci složenýho zobrazení, prostě to ber jako fakt.
dz/dx normálně vyjádříš z toho vztahu, kterym je definovaný z, čili něco jako 2x / (x^2 + y^2).
dz/dy bude obdobně 2y / (x^2 + y^2).
No a dx/du a dy/du ti přeci vyjde z implicitní funkce, že? x a y jsou ty funkce definovaný jako implicitní a podle věty o impl. fcích můžeš vyjádřit jejich derivaci v tom daným bodě, což bude nějaký číslo. No a pak už jen do dz/dx a dz/dy viz vejš dosadíš za x a y, vynášobíš každý tou derivací z impl. fcí (prostě dosadíš do vzorečku v citaci) a je to doma..

Almer at 2006-02-04 11:12:34

Anonymous wrote: ano, prave s tim doma bojuju a proste nejak mi nejde ta druha cast, konkretne to dx/du a dy/du, nejak nevim jak na to, asi mi to dneska extremne nemysli, ale potrebuju se to naucit :)

kdyz ti poradim ze udelas jako podil dvou matic, pricemz ta spodni je ta, kterou si dokazoval ze je nenulova, pri overovani predpokladu vety o implicitni fci? Staci to takhle?

:wink:

qk_ at 2006-02-04 14:54:29

Diky za rady, uz mi nejaky cislo vypadlo :)

a jeste jeden dotaz k jednicce, k dokazani hladkosti staci overit VOIF nebo musim spocitat i totalni diferencial x a y???

Almer at 2006-02-04 15:05:54

qk_ wrote:Diky za rady, uz mi nejaky cislo vypadlo :)
a jeste jeden dotaz k jednicce, k dokazani hladkosti staci overit VOIF nebo musim spocitat i totalni diferencial x a y???

Staci overit ty tri predpoklady VOIF...jinak cislo by ti melo podle mych skromnych odhadu a propoctu vypadnout neco jako -1/ 9 - 2*pi

Keleen at 2006-02-06 09:49:50

Nemohl by sem nekdo napsat jak se jde na tu dvojku?

2. Najdete globalni extremy funkce
   
     f(x,y,z) = x + y - z

na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu

Kdyz mam u ty mnoziny jednu rovnost,tak to proste vezmu pres Lagrangeovy multiplikatory...ale kdyz jsou tady dve rovnosti?To mam nejak nadefinovat dve lambdy nebo jak na to jit...jsem vazne zmatenej.
Diky.

hippies at 2006-02-06 10:03:50

Keleen wrote:Nemohl by sem nekdo napsat jak se jde na tu dvojku?
2. Najdete globalni extremy funkce
   
     f(x,y,z) = x + y - z

na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu 
Kdyz mam u ty mnoziny jednu rovnost,tak to proste vezmu pres Lagrangeovy multiplikatory...ale kdyz jsou tady dve rovnosti?To mam nejak nadefinovat dve lambdy nebo jak na to jit...jsem vazne zmatenej.
Diky.

Ano, protože to jsou rovnosti, jedná se o vázaný extrém (ne kombinovaný) => V12 (Lagrangeova věta), prostě definuješ:
G1(x,y)=x^2+y^2+z^2-9 a G2(x,y)=xy-4,
předpoklady jsou v pohodě, na def. oboru je to všechno hladký, vazby se nulujou a extrém existuje ( je to uzavřený a omezený tou sférou)
=> ... L(x,y)=f(x,y)+lambdaG1(x,y)+mí*G2(x,y)
...
dál je to jasný ne?

Keleen at 2006-02-06 10:06:26

hippies wrote:
Keleen wrote:Nemohl by sem nekdo napsat jak se jde na tu dvojku?
2. Najdete globalni extremy funkce
   
     f(x,y,z) = x + y - z

na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu 
Kdyz mam u ty mnoziny jednu rovnost,tak to proste vezmu pres Lagrangeovy multiplikatory...ale kdyz jsou tady dve rovnosti?To mam nejak nadefinovat dve lambdy nebo jak na to jit...jsem vazne zmatenej.
Diky.
Ano, protože to jsou rovnosti, jedná se o vázaný extrém (ne kombinovaný) => V12 (Lagrangeova věta), prostě definuješ:
G1(x,y)=x^2+y^2+z^2-9 a G2(x,y)=xy-4,
předpoklady jsou v pohodě, na def. oboru je to všechno hladký, vazby se nulujou a extrém existuje ( je to uzavřený a omezený tou sférou)
=> ... L(x,y)=f(x,y)+lambdaG1(x,y)+mí*G2(x,y)
...
dál je to jasný ne?

Jj,diky moc,s tim uz se nejak poperu.

Keleen at 2006-02-06 17:01:04

Jak se spravne jde na tu ctyrku?

4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
    z = x^2 + 2*y^2
    z = 2*x^2 + 3*y^2
    y + 2x = 6
    2y = x^2

Ja to nejak zase pochybne zkousel a zase se mi to nepovedlo...ta zkouska pro me koukam bude vazne zabavna.

hippies at 2006-02-06 17:09:55

Keleen wrote:Jak se spravne jde na tu ctyrku?
4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
    z = x^2 + 2*y^2
    z = 2*x^2 + 3*y^2
    y + 2x = 6
    2y = x^2 
Ja to nejak zase pochybne zkousel a zase se mi to nepovedlo...ta zkouska pro me koukam bude vazne zabavna.

Nakreslíš si půdorys=> přímka a parabola (ty posl. dvě křivky)
najdeš jejich průsečíky a pak už je to jednoduchý, třeba:
průsečík1<x<průsečík2, x^2/2<y<6-2x, x^2+2y^2<z<2x^2+3*y^2

to je omezený 4ma plochama => lze použít fubini ...

dál už je to jen počitání ne?

Keleen at 2006-02-06 17:29:31

hippies wrote:
Keleen wrote:Jak se spravne jde na tu ctyrku?
4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
    z = x^2 + 2*y^2
    z = 2*x^2 + 3*y^2
    y + 2x = 6
    2y = x^2 
Ja to nejak zase pochybne zkousel a zase se mi to nepovedlo...ta zkouska pro me koukam bude vazne zabavna.
Nakreslíš si půdorys=> přímka a parabola (ty posl. dvě křivky)
najdeš jejich průsečíky a pak už je to jednoduchý, třeba:
průsečík1<x<průsečík2, x^2/2<y<6-2x, x^2+2y^2<z<2x^2+3*y^2
to je omezený 4ma plochama => lze použít fubini ...
dál už je to jen počitání ne?

Jj,dal je to jasny...ja jen proste nikdy nejsem schopnej si spravne urcit ty meze...dik moc.