# [Zk] 31.2.2005

<{ForumPost(poster="Almer", timestamp=2006-02-01 12:46:09)}>
Proto je Pick nejspise nekde pryc, a nedaval tam tedy na svoji stranku zadani vcerejsi prisemky, tak je tu pridam ja:  

    1.Dokazte ze vztahy
    
          u = sin(pi*x*y) - arctg(y/x)
          v = 3*x*y^2 + e^(x+y)
    
    definuji na okoli bodu [u,v] = [pi/4,-2] hladke fuknce x,y promennych u,v takove, ze x[pi/4,-2] = -1 a y[pi/4,-2] = 1. Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)
    
    2. Najdete globalni extremy funkce
        
         f(x,y,z) = x + y - z 
    
    na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu
    
    3. Najdete vsechna maximalni reseni diferencialni rovnice
    
         y' = y*tg(x) + 4*y^2*sin(x)
    
    a urcete jejich definicni obor. Pak najdete vsechna partikularni reseni teto rovnice, ktera prochazeji bodem [x,y] = [pi/4, sqrt(2) / 2], urcete jejich definicni obora rozhodnete, za jdou na svem definicnim oboru omezene.
    
    4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
        z = x^2 + 2*y^2
        z = 2*x^2 + 3*y^2
        y + 2x = 6
        2y = x^2
    

Jestli nekdo chcete tak muzu prilozit reseni, co si vzpominam, jak jsem to napsal, snad krome 3 prikladu. ten sem nemel.  
  
Nejlepsi skore 42.5 bodu.....dalo asi 7 liid....asi 5 byl v sede zone...a asi 10 nedalo.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="hippies", timestamp=2006-02-01 22:23:57)}>

 > Almer wrote:Proto je Pick nejspise nekde pryc, ...

Byl na horách, na dovče :wink: .  
Bylo to si myslím jedno z lehčích zadání, vše vyšlo hezky a ten integrál ani nechtěli vyčíslit, stačilo jim zintegrovat až do konce a to odečtení posledních mezí už být nemuselo, páč tam vycházely nějaký x^6 a tak.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="qk_", timestamp=2006-02-03 19:59:23)}>
Muzeme mi dat hint jak na tohle???  

    Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2) 


<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Eubie", timestamp=2006-02-03 20:24:29)}>

 > Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)

To je normální řetízkový pravidlo..
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Almer", timestamp=2006-02-03 23:53:49)}>

 > qk_ wrote:Muzeme mi dat hint jak na tohle???  
 > 
 > 
 > 
 > 
 > 
 >     Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)

Chainrule  
  
dz/du =  (dz/dx)*(dx/du)+(dz/dy)*(dy/du)  
  
jeste vice napovedet?
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2006-02-04 10:44:31)}>

 > Almer wrote:
 >  > qk_ wrote:Muzeme mi dat hint jak na tohle???  
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  >     Je-lio navic z (x,y) = log (x^2 + y^2), spoctete dz/du (pi/4,-2)
 > 
 > 
 > Chainrule  
 >   
 > dz/du =  (dz/dx)*(dx/du)+(dz/dy)*(dy/du)  
 >   
 > jeste vice napovedet?

ano, prave s tim doma bojuju a proste nejak mi nejde ta druha cast, konkretne to dx/du a dy/du, nejak nevim jak na to, asi mi to dneska extremne nemysli, ale potrebuju se to naucit :)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Eubie", timestamp=2006-02-04 11:12:11)}>

 > dz/du = (dz/dx)*(dx/du)+(dz/dy)*(dy/du)

Tak postupně. To, že se takhle rozepíše ta derivace podle chain rule je otázka naučení, je to podle věty o derivaci složenýho zobrazení, prostě to ber jako fakt.   
dz/dx normálně vyjádříš z toho vztahu, kterym je definovaný z, čili něco jako            2x / (x^2 + y^2).   
dz/dy bude obdobně         2y / (x^2 + y^2).   
No a dx/du a dy/du ti přeci vyjde z implicitní funkce, že? x a y jsou ty funkce definovaný jako implicitní a podle věty o impl. fcích můžeš vyjádřit jejich derivaci v tom daným bodě, což bude nějaký číslo. No a pak už jen do dz/dx a dz/dy viz vejš dosadíš za x  a y, vynášobíš každý tou derivací z impl. fcí (prostě dosadíš do vzorečku v citaci) a je to doma..
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Almer", timestamp=2006-02-04 11:12:34)}>

 > Anonymous wrote:
 > ano, prave s tim doma bojuju a proste nejak mi nejde ta druha cast, konkretne to dx/du a dy/du, nejak nevim jak na to, asi mi to dneska extremne nemysli, ale potrebuju se to naucit :)

kdyz ti poradim ze udelas jako podil dvou matic, pricemz ta spodni je ta, kterou si dokazoval ze je nenulova, pri overovani predpokladu vety o implicitni fci? Staci to takhle?  
  
 :wink:
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="qk_", timestamp=2006-02-04 14:54:29)}>
Diky za rady, uz mi nejaky cislo vypadlo :)  
  
a jeste jeden dotaz k jednicce, k dokazani hladkosti staci overit VOIF nebo musim spocitat i totalni diferencial x a y???
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Almer", timestamp=2006-02-04 15:05:54)}>

 > qk_ wrote:Diky za rady, uz mi nejaky cislo vypadlo :)  
 >   
 > a jeste jeden dotaz k jednicce, k dokazani hladkosti staci overit VOIF nebo musim spocitat i totalni diferencial x a y???

Staci overit ty tri predpoklady VOIF...jinak cislo by ti melo podle mych skromnych odhadu a propoctu vypadnout neco jako -1/ 9 - 2*pi
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Keleen", timestamp=2006-02-06 09:49:50)}>
Nemohl by sem nekdo napsat jak se jde na tu dvojku?

    2. Najdete globalni extremy funkce
       
         f(x,y,z) = x + y - z
    
    na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu 
    

Kdyz mam u ty mnoziny jednu rovnost,tak to proste vezmu pres Lagrangeovy multiplikatory...ale kdyz jsou tady dve rovnosti?To mam nejak nadefinovat dve lambdy nebo jak na to jit...jsem vazne zmatenej.  
Diky.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="hippies", timestamp=2006-02-06 10:03:50)}>

 > Keleen wrote:Nemohl by sem nekdo napsat jak se jde na tu dvojku?
 > 
 > 
 > 
 > 
 >     2. Najdete globalni extremy funkce
 >        
 >          f(x,y,z) = x + y - z
 >     
 >     na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu 
 >     
 > 
 > 
 > 
 > Kdyz mam u ty mnoziny jednu rovnost,tak to proste vezmu pres Lagrangeovy multiplikatory...ale kdyz jsou tady dve rovnosti?To mam nejak nadefinovat dve lambdy nebo jak na to jit...jsem vazne zmatenej.  
 > Diky.

Ano, protože to jsou rovnosti, jedná se o vázaný extrém (ne kombinovaný) => V12 (Lagrangeova věta), prostě definuješ:  
G1(x,y)=x^2+y^2+z^2-9 a G2(x,y)=x*y-4,  
předpoklady jsou v pohodě, na def. oboru je to všechno hladký, vazby se nulujou a extrém existuje ( je to uzavřený a omezený tou sférou)  
=> ... L(x,y)=f(x,y)+lambda*G1(x,y)+mí*G2(x,y)   
...  
dál je to jasný ne?
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Keleen", timestamp=2006-02-06 10:06:26)}>

 > hippies wrote:
 >  > Keleen wrote:Nemohl by sem nekdo napsat jak se jde na tu dvojku?
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  >     2. Najdete globalni extremy funkce
 >  >        
 >  >          f(x,y,z) = x + y - z
 >  >     
 >  >     na mnozine M={ [x,y,z] z R^3, x^2 + y^2 + z^2 = 9, x*y = 4}. Zduvodnete existenci globalnich extremu 
 >  >     
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  > Kdyz mam u ty mnoziny jednu rovnost,tak to proste vezmu pres Lagrangeovy multiplikatory...ale kdyz jsou tady dve rovnosti?To mam nejak nadefinovat dve lambdy nebo jak na to jit...jsem vazne zmatenej.  
 >  > Diky.
 > 
 > 
 > Ano, protože to jsou rovnosti, jedná se o vázaný extrém (ne kombinovaný) => V12 (Lagrangeova věta), prostě definuješ:  
 > G1(x,y)=x^2+y^2+z^2-9 a G2(x,y)=x*y-4,  
 > předpoklady jsou v pohodě, na def. oboru je to všechno hladký, vazby se nulujou a extrém existuje ( je to uzavřený a omezený tou sférou)  
 > => ... L(x,y)=f(x,y)+lambda*G1(x,y)+mí*G2(x,y)   
 > ...  
 > dál je to jasný ne?

Jj,diky moc,s tim uz se nejak poperu.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Keleen", timestamp=2006-02-06 17:01:04)}>
Jak se spravne jde na tu ctyrku?

    4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
        z = x^2 + 2*y^2
        z = 2*x^2 + 3*y^2
        y + 2x = 6
        2y = x^2 
    

Ja to nejak zase pochybne zkousel a zase se mi to nepovedlo...ta zkouska pro me koukam bude vazne zabavna.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="hippies", timestamp=2006-02-06 17:09:55)}>

 > Keleen wrote:Jak se spravne jde na tu ctyrku?
 > 
 > 
 > 
 > 
 >     4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
 >         z = x^2 + 2*y^2
 >         z = 2*x^2 + 3*y^2
 >         y + 2x = 6
 >         2y = x^2 
 >     
 > 
 > 
 > 
 > Ja to nejak zase pochybne zkousel a zase se mi to nepovedlo...ta zkouska pro me koukam bude vazne zabavna.

Nakreslíš si půdorys=> přímka a parabola (ty posl. dvě křivky)  
najdeš jejich průsečíky a pak už je to jednoduchý, třeba:  
průsečík1<x<průsečík2, x^2/2<y<6-2x, x^2+2*y^2<z<2*x^2+3*y^2  
  
to je omezený 4ma plochama => lze použít fubini ...  
  
dál už je to jen počitání ne?
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Keleen", timestamp=2006-02-06 17:29:31)}>

 > hippies wrote:
 >  > Keleen wrote:Jak se spravne jde na tu ctyrku?
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  >     4. Urcete objem telesa T z R^3, ohranicene plochami
 >  >         z = x^2 + 2*y^2
 >  >         z = 2*x^2 + 3*y^2
 >  >         y + 2x = 6
 >  >         2y = x^2 
 >  >     
 >  > 
 >  > 
 >  > 
 >  > Ja to nejak zase pochybne zkousel a zase se mi to nepovedlo...ta zkouska pro me koukam bude vazne zabavna.
 > 
 > 
 > Nakreslíš si půdorys=> přímka a parabola (ty posl. dvě křivky)  
 > najdeš jejich průsečíky a pak už je to jednoduchý, třeba:  
 > průsečík1<x<průsečík2, x^2/2<y<6-2x, x^2+2*y^2<z<2*x^2+3*y^2  
 >   
 > to je omezený 4ma plochama => lze použít fubini ...  
 >   
 > dál už je to jen počitání ne?

Jj,dal je to jasny...ja jen proste nikdy nejsem schopnej si spravne urcit ty meze...dik moc.
<{/ForumPost}>