Zkouška - Honzík 31.1.2019

1. Popište množinu všech řešení nerovnice
   $$2 \, \mathrm{Im}z \le |z|^2$$
   v $\mathbb{C}$. Načrtněte tuto množinu (10 bodů)

2. Pro funkci
   $$u(x,y) = ( \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} ) \cos{y}$$
   najděte funkci $v(x,y)$, tak aby funkce$$f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)$$byla holomorfní. (Jako funkce komplexní proměnné$z = x + iy$.)
   (10 bodů)

3. Spočtěte
   $$\int_0^{\infty} \frac{\cos{x}}{(x^2 +1)^2 (x^2 + 9)}\,dx$$
   Podrobně popiště postup výpočtu. (15 bodů)

4. Najděte Fourierovu řadu funkce
   $$f(x) = \sin{|2x|}, \quad x\in(-\pi,\pi]$$
   v reálném tvaru.
   (15 bodů)

Pan Honzík je hodný při opravování písemné části zkoušky.

Průběh zkoušky:
Písemná část vždy začíná v 10 hodin. Na vypracování je 1h a 30 min. Během dne písemky Honzík opraví a rozešle emaily. Buďto vás pozve následující den do jeho kanceláře na ustni, nebo vám oznámí že není třeba a dostanete rovnou 4. V případě pozvání na ústní zkoušku vám ale v emailu nepoví kolik jste měli bodů z testu.

Poznámka: Gmail mi email od Honzíka zařadil do spamu.

Ohledně ústní:
Ve stanovený čas se usadite v Honzíkově kanceláří a dostanete 2 přehledové otázky zhruba odpovídající kapitolám v poznamkách od přednášejícího. Každá z těchto otázek bude obsahovat zhruba 1 větu (její důkaz je nejdůležitější).

Pokud nebudete umět dokázat nic, tak vás asi pošle domů nezávisle na správnosti písemné zkoušky.

Výsledná známka se sestaví součtem bodů z písemné a ústní části. Je tedy dobré být početně připraven, získáte menší výhodu do ústní.

Já jsem dostal elementární funkce v $\mathbb{C}$ a vše kolem reziduové věty. Zajímali ho důkazy Cauchy-Riemannových podmínek, reziduové věty a klasifikace singularit. Důkaz C-R podmínek jsem věděl, o reziduové větě jsem okecaval jak asi se to dělá, důkaz klasifikace singularit jsem vůbec nevěděl. Z písemné části jsem dostal 46b z 50 (to mi sdělil po ústní), ústní nic moc, nakonec 3. Jinak je na ústní zkoušce úplně v pohodě. Jen je třeba něco umět :D

Dále jsem ho slyšel ptát se na věci kolem křivkového integrálu, oblastí, primitivních funkcí a Fourierových řád. Chtěl slyšet důkazy Riemann-Lebesguova lemmatu, Parsevala, charakterizace oblasti...

Celkově mi připadá že ústní má mnohem větší váhu, než na co jsem byl zvyklí z jiných předmětů. Dle mého názoru byl předmět těžší než MAI a MAII a to hlavně kvůli tomu, že jsem chodil do druhé paralelky :D