zkouška 11.2.2010 Trlifaj

(7b) Nechť G je konečná grupa, X neprázdná množina a $\phi$ je akce G na X. Dokažte, že pro každé x z X je velikost orbity prvku x v akci $\phi$ rovna indexu jeho stabilozátoru

(8b) Nechť G₁, ..., G_n jsou podgrupy G=(G, @, ^-1, e) takové, že platí:
(i) G_i komutuje s G_j (g_i @ g_j = g_j @ g_i, pro každé g_i z G_i a g_j z G_j
(ii) každý prvek g z G lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru g = $\pi$₁(g) @ ... @ $\pi$_n(g), kde $\pi$_i(g) z G_i pro všechna i <= n.
Dokažte, že pro každé i <= n je $\pi$_i: G -> G_i grupovým homomorfismem a (g, ($\pi$_i | i <= n)) je součinem souboru (G_i | i<= n) v kategorii grup.

(5b) Dokažte, že lokalizace oboru integrity v jeho libovolném prvoideálu je opět oborem integrity.

(5b) Uveďte příklad okruhu R, jeho levého ideálu I, který není pravým idálem a jeho pravého ideálu J, který není levým ideálem.

(7b) Nechť KG značí algebru cest konečného grafu G nad komutativním tělesem K a J značí K-podprostor v KG generovaný všemi cestami (délky aspoň 1). Dokažte, že J je oboustranný ideál v KG, a popište faktorový okruh KG/J.