# zkouška 11.2.2010 Trlifaj
<{ForumPost(poster="atamann", timestamp=2010-06-02 17:53:01)}>
1) (7b) Nechť G je konečná grupa, X neprázdná množina a $\phi$ je akce G na X. Dokažte, že pro každé x z X je velikost orbity prvku x v akci $\phi$ rovna indexu jeho stabilozátoru
2) (8b) Nechť G1, ..., Gn jsou podgrupy G=(G, @, -1, e) takové, že platí:
(i) Gi komutuje s Gj (gi @ gj = gj @ gi, pro každé gi z Gi a gj z Gj
(ii) každý prvek g z G lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru g = $\pi$1(g) @ ... @ $\pi$n(g), kde $\pi$i(g) z Gi pro všechna i <= n.
Dokažte, že pro každé i <= n je $\pi$i: G -> Gi grupovým homomorfismem a (g, ($\pi$i | i <= n)) je součinem souboru (Gi | i<= n) v kategorii grup.
3) (5b) Dokažte, že lokalizace oboru integrity v jeho libovolném prvoideálu je opět oborem integrity.
4) (5b) Uveďte příklad okruhu R, jeho levého ideálu I, který není pravým idálem a jeho pravého ideálu J, který není levým ideálem.
5) (7b) Nechť KG značí algebru cest konečného grafu G nad komutativním tělesem K a J značí K-podprostor v KG generovaný všemi cestami (délky aspoň 1). Dokažte, že J je oboustranný ideál v KG, a popište faktorový okruh KG/J.
<{/ForumPost}>