Termin 24.1.11

Pisonka 24.1.11:
1.) Nech G je grupa, H jej podgrupa. Dokazat, ze mohutnost lavej tranverzaly G podla H = mohutnost pravej tranverzaly.
(Je to lemma 1.28 zo skript)
Ukazat,ze lavy rozklad G sa obecne nerovna pravemu rozkladu G podla H.
(napriklad pre S3)
2.)Lemma 1.64

3.)Nech R je okruh. A nech je mnozina vsetkych prvoidealov R. Dokazat ze, mnozina S := R \ (Zjednotenie vsetkych prvoidealov cez A)
je multiplikativna. A najst priklad pre multiplikativnu mnozinu R, kde S nebude tvaru S=R\prvoideal.
(a)Overit definiciu multiplikativnosti mnoziny.)
b) splnuje to naprikla R\M kde M={+-2^n , n patri N }
4.)1.veta o izomorfizme pre moduly.

5.)Dokazat,ze ak limita diagramu existuje=> je az na izomorfizmus urcena jednoznacne.
(Lemma 2.62)

Bodovanie: 7,8,7,5,7

Mírně upřesním zadání:
1) Nechť G je Grupa a H její podgrupa. Ukažte, že levý a pravý rozklad G podle H mají stejný počet prvků.
Najděte příklad podgrupy, podle které tyto rozklady nejsou stejné. (7b.)
2) Nechť p je prvočíslo a G je konečná komutativní p-grupa řádu $p^k$. Nechť $g\in G$ je maximálního řádu. Ukažte, že potom existuje H podgrupa G taková, že $G \cap H = \lbrace e \rbrace$ a $<g>H = G$. (8b.)
3) Nechť R je komutativní okruh a A je množina jeho prvoideálů. Dokažte, že $S = R \setminus \cup_{I \in A} I$ je multiplikativní podmnožina R.
Uveďte příklad multiplikativní podmnožiny $\mathbb{Z}$, kterou nelze zapsat ve tvaru $S = R \setminus \cup_{I \in A} I$ pro žádnou množinu prvoideálů A. (7b.)
4) Nechť R je okruh a M, N, P jsou pravé R-moduly. Nechť $f: M \rightarrow N$ a $g: M \rightarrow P$ jsou surjektivní R-homomorfismy takové, že $Ker f = Ker g$. Ukažte, že N a P jsou isomorfní. (5b.)
5) Věta o jednoznačnosti limity diagramu. (7b.)

Řešení 1) Věta ze skript, libovolná podgrupa G, která není normální.
2) Věta ze skript.
3) Prví část přímo ověříme, příkladem je třeba $\lbrace 1, 4, 16, \dots\rbrace$.
4) Plyne přímo z první věty o isomorfismu modulů.
5) Věta ze skript.

Známkování 1 za 34 - 24 bodů
2 za 23 - 20 bodů
3 za 19 - 14 bodů
4 za 13 a méně bodů