# Termin 24.1.11

<{ForumPost(poster="Marek", timestamp=2011-01-24 18:48:28)}>
Pisonka 24.1.11:   
1.) Nech G je grupa, H jej podgrupa. Dokazat, ze mohutnost lavej tranverzaly G podla H = mohutnost pravej tranverzaly.  
(Je to lemma 1.28 zo skript)  
Ukazat,ze lavy rozklad G sa obecne nerovna pravemu rozkladu G podla H.  
(napriklad pre S3)  
2.)Lemma 1.64  
  
3.)Nech R je okruh. A nech je mnozina vsetkych prvoidealov R. Dokazat ze, mnozina S := R \ (Zjednotenie vsetkych prvoidealov cez A)  
je multiplikativna. A najst priklad pre multiplikativnu mnozinu R, kde S nebude tvaru S=R\prvoideal.  
(a)Overit definiciu multiplikativnosti mnoziny.)  
b) splnuje to naprikla R\M kde M={+-2^n , n patri N }  
4.)1.veta o izomorfizme pre moduly.  
  
5.)Dokazat,ze ak limita diagramu existuje=> je az na izomorfizmus urcena jednoznacne.  
(Lemma 2.62)  
  
Bodovanie: 7,8,7,5,7
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="kubatop", timestamp=2011-01-24 19:19:18)}>
Mírně upřesním zadání:  
**1)** Nechť G je Grupa a H její podgrupa. Ukažte, že levý a pravý rozklad G podle H mají stejný počet prvků.  
Najděte příklad podgrupy, podle které tyto rozklady nejsou stejné. (7b.)  
**2)** Nechť p je prvočíslo a G je konečná komutativní p-grupa řádu $p^k$. Nechť $g\in G$ je maximálního řádu. Ukažte, že potom existuje H podgrupa G taková, že $G \cap H = \lbrace e \rbrace$ a $<g>H = G$. (8b.)  
**3)** Nechť R je komutativní okruh a A je množina jeho prvoideálů. Dokažte, že $S = R \setminus \cup_{I \in A} I$ je multiplikativní podmnožina R.  
Uveďte příklad multiplikativní podmnožiny $\mathbb{Z}$, kterou nelze zapsat ve tvaru $S = R \setminus \cup_{I \in A} I$ pro žádnou množinu prvoideálů A. (7b.)  
**4)** Nechť R je okruh a M, N, P jsou pravé R-moduly. Nechť $f: M \rightarrow N$ a $g: M \rightarrow P$ jsou surjektivní R-homomorfismy takové, že $Ker f = Ker g$. Ukažte, že N a P jsou isomorfní. (5b.)  
**5)** Věta o jednoznačnosti limity diagramu. (7b.)

----
Řešení
**1)** Věta ze skript, libovolná podgrupa G, která není normální.  
**2)** Věta ze skript.  
**3)** Prví část přímo ověříme, příkladem je třeba $\lbrace 1, 4, 16, \dots\rbrace$.  
**4)** Plyne přímo z první věty o isomorfismu modulů.  
**5)** Věta ze skript.

----
Známkování
1 za 34 - 24 bodů  
2 za 23 - 20 bodů  
3 za 19 - 14 bodů  
4 za 13  a méně bodů
<{/ForumPost}>