Šaroch 10.1.2014

Zřejmě první Šarochova zkouška na Algebře I, takže systém:

1. definice (4b) + příklad (2b)

2. znění věty bez důkazu (3b)

3. věta (2b) s důkazem (4b)

Celkem až 15b.

1 <= 15-12b
2 <= 9-11b
3 <= 6-8b

Jak vidno, je to celkem benevolentní.
Skupiny byly A a B, tedy moje B bylo následující:

1. Definujte, co je pro typ $\Omega$ homomorfismus algeber, pokud použijete termín "zobrazení slučitelné s", definujte ho.
   ... Příklad: kolik faktorokruhů má okruh $Z_{100}(+, \bullet, -, 0, 1)$?

2. Formulujte větu o homomorfismu okruhů (nezapomeňte i na všechny předpoklady)

3. Definujte Eulerovu funkci, formulujte a dokažte větu o vlastnostech Eulerovy funkce pro posloupnost prvočísel (prostě Věta 0.9 nebo kolik :) ).

Termín 17.1.2014

Bodování stejné, skupina tentokrát jen jedna:

1. Definujte index podgrupy v grupě, včetně přidružených pojmů. U které věty jsme index podgrupy použili?

2. Kolik různých okruhových homomorfismů existuje z osmiprvkového do šestnáctiprvkového tělesa?

3. Zformulujte a dokažte větu, která mezi všemi ideály komutativního okruhu R charakterizuje ty, podle nichž když R vyfaktorizujeme, dostaneme těleso.

4. Zformulujte, včetně všech předpokladů, 2. větu o isomorfismu pro grupy (používané pojmy krom pojmu grupy definujte).

Dnesni zadani skupiny B :

Definujte Booleovy algebry (pres svazy i axiomaticky). (3b)

Mame nekonecnou mnozinu M a algebru prunik, sjednoceni a doplnek do M nad systemem jejich podmnozin B_M. Do B_M patri takove podmnoziny M, ktere jsou konecne nebo jejich doplnek do M je konecny. Ukazte (po 1b) :
a) B_M je podalgebra algebry P(M)
b) Pokud P z B_M neni M, pak existuje koatom takovy, ze p je jeho podmnozina
c) Neexistuje mnozina takova, ze B_M je izomorfni s jeji potencni algebrou.

Formulujte a dokazte vetu, ktera charakterizuje konecne Booleovy algebry (je to ta o izomorfismu algebry s potencni algebrou jejich atomu, ve skriptech 4.13).

Formulujte vetu o charakterizaci maximalniho idealu nad telesem T[x]. (dostaneme ho z telesa ireducibilnim polynomem, 5.10).

Pro A byl priklad temer stejny, definici a vetu meli neco se svazy.

Dnes zmena bodovani, definice 3, priklad 3.
Skupina A:

Definujte svaz, napiste zneni vety o svazu jako algebre (takovy to S1 az S4).
Priklad jako B, akorat misto koatomu atom a misto podmnoziny nadmnozina.
Formulujte a dokazte 2. vetu o izomorfismu grup.
Definujte ireducibilni polynom, popiste konstrukci telesa s p^n prvky.