# Šaroch 10.1.2014

<{ForumPost(poster="LordG", timestamp=2014-01-10 13:10:06)}>
Zřejmě první Šarochova zkouška na Algebře I, takže systém:  
1. definice (4b) + příklad (2b)  
2. znění věty bez důkazu (3b)  
3. věta (2b) s důkazem (4b)  
---  
Celkem až 15b.  
  
1 <= 15-12b  
2 <= 9-11b  
3 <= 6-8b  
  
Jak vidno, je to celkem benevolentní.  
Skupiny byly A a B, tedy moje B bylo následující:  
1. Definujte, co je pro typ $\Omega$ homomorfismus algeber, pokud použijete termín "zobrazení slučitelné s", definujte ho.   
... Příklad: kolik faktorokruhů má okruh $Z_{100}(+, \bullet, -, 0, 1)$?  
  
2. Formulujte větu o homomorfismu okruhů (nezapomeňte i na všechny předpoklady)  
  
3. Definujte Eulerovu funkci, formulujte a dokažte větu o vlastnostech Eulerovy funkce pro posloupnost prvočísel (prostě Věta 0.9 nebo kolik :) ).
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="ips", timestamp=2014-01-17 15:12:07)}>
Termín 17.1.2014  
  
Bodování stejné, skupina tentokrát jen jedna:  
  
1. Definujte index podgrupy v grupě, včetně přidružených pojmů. U které věty jsme index podgrupy použili?  
  
2. Kolik různých okruhových homomorfismů existuje z osmiprvkového do šestnáctiprvkového tělesa?  
  
3. Zformulujte a dokažte větu, která mezi všemi ideály komutativního okruhu R charakterizuje ty, podle nichž když R vyfaktorizujeme, dostaneme těleso.  
  
4. Zformulujte, včetně všech předpokladů, 2. větu o isomorfismu pro grupy (používané pojmy krom pojmu grupy definujte).
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Danstahr", timestamp=2014-02-05 12:50:14)}>
Dnesni zadani skupiny B :  
  
Definujte Booleovy algebry (pres svazy i axiomaticky). (3b)  
  
Mame nekonecnou mnozinu M a algebru prunik, sjednoceni a doplnek do M nad systemem jejich podmnozin B_M. Do B_M patri takove podmnoziny M, ktere jsou konecne nebo jejich doplnek do M je konecny. Ukazte (po 1b) :   
a) B_M je podalgebra algebry P(M)  
b) Pokud P z B_M neni M, pak existuje koatom takovy, ze p je jeho podmnozina  
c) Neexistuje mnozina takova, ze B_M je izomorfni s jeji potencni algebrou.  
  
Formulujte a dokazte vetu, ktera charakterizuje konecne Booleovy algebry (je to ta o izomorfismu algebry s potencni algebrou jejich atomu, ve skriptech 4.13).   
  
Formulujte vetu o charakterizaci maximalniho idealu nad telesem T\[x]. (dostaneme ho z telesa ireducibilnim polynomem, 5.10).  
  
Pro A byl priklad temer stejny, definici a vetu meli neco se svazy.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="jethro", timestamp=2014-02-05 14:09:16)}>
Dnes zmena bodovani, definice 3, priklad 3.  
Skupina A:  
  
Definujte svaz, napiste zneni vety o svazu jako algebre (takovy to S1 az S4).  
Priklad jako B, akorat misto koatomu atom a misto podmnoziny nadmnozina.  
Formulujte a dokazte 2. vetu o izomorfismu grup.  
Definujte ireducibilni polynom, popiste konstrukci telesa s p^n prvky.
<{/ForumPost}>