ZS 2006/7

Zkoušky:

  • Celkem 45 bodů, do 38 1, do 32 2, do 25 3. Za prvních pět dokopy je 20 bodů a za poslední příklad je 25.

  • Čistýho času jsou 2 hodiny.

Zkouška 19. 1. 2007

  • Mame nn mereni XX a prumer (X‾n\overline{X}_n) - 4 otazky na rozhodnuti plati/neplati se zdůvodněním nebo důkazem:

    • X‾n\overline{X}_n nezávisí na odlehlých hodnotách XiX_i

    • X‾n\overline{X}_n je nestrannym odhadem EXEX

    • var⁡(X‾n)=n⋅var⁡(Xi)\operatorname{var}(\overline{X}_n) = n \cdot \operatorname{var}(X_i)

    • ∑(Xi−X‾n)2=1\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 = 1

  • Pokud se nahodny hodnoty trefuji blizko do okoli stredni hodnoty, bude pak smerodatna odchylka:

    • mala

    • velka

    • velmi velka

    • nespocitatelna

  • Hodnota, kterou n.v. s pravdepodobnosti pp nepreleze se nazyva:

    • median

    • pp-kvantil

    • pp-kvartil

    • distribucni funkce v bode pp

  • Stredni hmotnost narozeneho ditete je 3,4kg, smerodatna odchylka je 450g, normální rozdělení, urcete pravdepodobnost narozeni ditete s vahou mensi nez 2.5kg a zdůvodněte:

    • 1 %1\,\%

    • 2,5 %2{,}5\,\%

    • 10 %10\,\%

    • 25 %25\,\%

  • Popište:

    • co je to chyba prvniho druhu

    • co je to kriticky obor

    • co je to sila testu

  • Stroj na generovani nahodnych cifer generuje cislice 0-9, kazde cislo se stejnou pravdepodobnosti

    • jakým rozdělením se řídí počet sudých číslic vygenerovaných strojem

    • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 1 sude

    • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 2 sude

    • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 10 sudych

    • Mejme jev AA, vygenerovana cislice je mensi nez 4

      • Navrhnete test na α\alpha hladine 0.95, ktery overi hypotezu, ze cetnost pAp_A vygenerovanych cislic mensich nez 4 neodpovida tvrzeni o idealnosti stroje (stroj je spatny)

      • Ze 100 pokusu je 35 cislic mensich nez 4, zamitneme hypotezu?

      • Co kdyz 10x zvetsime vyber a dostaneme 350 cislic mensich nez 4, zmeni se neco na nasem postoji vuci hypoteze?

Zkouška 22. 1. 2007

  • Doba telefonního hovoru se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 2 minuty. Jaká je pravděpodobnost že náhodný hovor bude trvat déle než dvě minuty?

[3 body]

  • X1,…,XnX_1, \ldots, X_n jsou z alternativního rozdělení s parametrem 0,3 a Y=∑i=1nXiY = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

    • Jaké je rozdělení YY?

    • K čemu konverguje Yn\frac{Y}{n}?

    • Jaké má rozdělení YY vztah k Poissonovu rozdělení?

[po 2 bodech, celkem 6]

  • Teorie:

    • Čebyševova nerovnost

    • nestranný odhad

    • chyba 2.druhu

    • intreval spolehlivosti

[po 3 bodech, celkem 12]

  • Opilec má osm klíčů, které jsou nerozeznatelné a snaží se odemknout svůj dům. Po každém odemčení mu klíče upadnou a znova je sebere a zkouší to znova.

    • Určete rozdělení toho, po kolika pokusech uspěje

    • Určete pravděpodobnost, že uspěje nejhůře po šesti neúspěšných pokusech.

    • Určete pravděpodobnost, že uspěje nejdříve po deseti neúspěších za předpokladu, že už 6 neuspěl.

    • Určete střední hodnotu.

[1+3+3+3 body, celkem 10]

  • Počet spamů za den se řídí Poissonovým rozdělením λkk!e−λ\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

    • Ověřte, že var⁡X=λ\operatorname{var} X = \lambda.

    • λ0=25\lambda_0 = 25, 100 dní - jaká je zhruba pravděpodobnost, že strávím za 100 dní méně než dvě hodiny mazáním spamu, když smazání jednoho trvá 3 sekundy?

    • Ověřte na α=0,05\alpha = 0{,}05 teorii, že při 100 dnech a celkovém počtu spamů 2650 je λ\lambda větší než λ0\lambda_0 (λ0=25\lambda_0 = 25).

[3+5+6, celkem 14]

Zkouška 13. 2. 2007

  • Má-li doba obsluhy zákazníka ve spořitelně (v minutách) exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 minut, určete, jaká je pravděpodobnost, že

    • náhodně vybraný zákazník bude obsluhován déle než 5 minut

    • nejdelší z šestice nezávislých dob obsluhy nepřekročí 10 minut

    • určete rozptyl aritmetického průměru dob obsluhy 100 zákazníků

[2+3+2]

  • Vysvětlete následující pojmy: vychýlený odhad, obor přijetí, chyba 1. druhu, intervalový odhad, zákon velkých čísel, Bayesova věta

[6x3 punkten]

  • V lisovně plastů vyrábějí obaly na CD. Tloušťka jednoho obalu je určena náhodnou veličinou s rozdělením N(10 mm,0,25 mm2)N(10\,\mathrm{mm}, 0{,}25\,\mathrm{mm}^2). Obaly se vkládají do krabic (v jedné řadě jako knížka do knihovny), které dodává jiný výrobce. Vnitřní šířka krabice je popsána náhodnou veličinou s rozdělením N(1014 mm,24 mm2)N(1014\,\mathrm{mm}, 24\,\mathrm{mm}^2). Předpokládejme, že šířky jednotlivých obalů jsou nezávislé jak navzájem, tak i šířkou krabice. Jaká je pravděpodobnost, že se do krabice nevejde 100 CD.

[fünf punkten]

  • Typický pražský Cajzl jezdí každý den krtkem do a z práce, kdy interval mezi jednotlivými vlaky je 4min - stejně i v době návratu domů. Jsou-li v uvažovaných denních dobách všechny okamžiky zaměstnancova vstupu na nástupiště stejně možné, je i jeho doba čekání na vlak (XX) náhodnou veličinou.

    • určete rozdělení veličiny XX, její střední hodnotu a rozptyl

    • určete přibližnou pravděpodobnost, že během 1. čtvrtletí (63 pracovních dnů) stráví při cestách do práce a zpět čekáním na vlak více než 3 a tři čtvrtě hodiny.

    • Strávil-li onen cestující během posledního čtvrtletí čekáním na peróně 275 min, otestujte na hladině α=0,05\alpha = 0{,}05, zda lze zpochybnit 4-minutový interval mezi jednotlivými vlaky udaný v jízdním řádu.

      • řádně zformulujte hypotézy

      • řádně zformulujte rozhodovací pravidlo

      • proveďte test

[4+5+6]

ZS 2005/6 a starší

  • už neplatí, systém zkoušení byl změněn

  • rozebíráno v diskusi mff.fear.cz

  • od zkoušky asi opravdu nejde "vyletět", človek z něhož toho Antoch dostane opravdu málo má při nejhorším za 3 (nebo si může zvolit možnost přijít příště, bez jakékoliv penalizace ;)

teoretické úlohy, které rozdával na zkoušce (z mff fear, ale (skoro) všechno hezky pohromadě)

  • Podmíněná pravděpodobnost, vsecko OK, az do chvile, nez se me zeptal na neco jako, kdyz mame dva nezavisle jevy AA, BB,... tak jesli nam muze byt k necemu vysledek prvniho pokusu, pri zkoumani toho dalsiho. No rekl jsem, ze ne, ze od toho jsou nezavisle. Nasledovala etida na tema at si to jeste rozmyslim, ktera skoncila nekde u nahodnych prochazek.

  • Věta o úplné pravděpodobnosti.

  • Náhodná procházka.

  • Bayesova veta. Ptal se i na pouziti, tak jsem mu vypravel o testech aids.

  • Pravděpodobnostní prostor.

  • Náhodná veličina - definice, význam, příklady spojité a diskrétní n.v.

  • Povězte mi co víte o spojité náhodné veličině.

    • stačí nakreslit pár obrázku, uvést pár příkladů a popsat co to je střední hodnota apod.

  • neslucitelnost X nezavislost u nahodnych jevu a velicin. U nezavislosti nahodnych velicin jsem napsal pouze kovarianci a korelaci, coz mu stacilo. Jeste jsme resili jak vypada sjednoceni kk nahodnych jevu (jevy nemusi byt disjunktni) - tam se pouzije princip inkluze a exkluze a jak vypada prunik tri nahodnych jevu (ne nutne nezavislych) - pomoci podminene psti.

  • Věta o konvoluci.

  • Vsechno co vim o Normalnim rozdeleni.

  • Čebyšeova nerovnost a věta - obojí s důkazem

  • Vytvořující funkce (definice, jak se používá, proč se zaváděla).

  • Centrální limitní věta, pouziti pro n.v. ∼Bi(n,p)\sim \mathrm{Bi}(n,p).

  • Testování hypotéz (spis uvod, nulova hypoteza, α\alpha, sila testu).

  • statistická otázka - testování středních hodnot dvou nezávislých výběrů ( úloha z domácího úkolu - jak na základě naměřeného vzorku výšek mužů a žen určit, zda jsou muži stejně vysocí jako ženy ).

  • regrese

  • teoria odhadu

praktické příklady, které rozdával na zkoušce

  • Jaká je pravděpodobnost, že pěticiferné číslo z rozsahu 00001-99999 neobsahujé žádné dvě stejné cifry.

  • V telefonní síti je průmerný počet výpadků za měsíc na jednoho účastníka 8. Jaká je pravděpodobnost, že jeden účastník zaznamená více než 4 výpadky.

  • Strelec strili do terce, zasah 0-10b, pst ze trefi v souctu 30b je 0.008, pst, ze trefi v jednom vystrelu P(x<8)=0.4P(x < 8) = 0.4, P(x=8)=0.15P(x = 8) = 0.15. Jaka je pst, ze trefi alespon 28b ve trech vystrelech.

  • máme 18 střelců, 5 z nich trefí cíl s pravděpodobností 90 %90\,\%, 7 z nich trefí cíl s pravděpodobností 80 %80\,\%, 4 z nich trefí cíl s pravděpodobností 60 %60\,\%, 2 z nich trefí cíl s pravděpodobností 50 %50\,\%. Náhodně vybereme střelce a on mine. Určete, v jaké skupině střelců nejpravděpodobněji je.

  • Mate navzajem disjunktni jevy A,B,C,DA, B, C, D + prislusne psti, jaka je pravdepodobnost, ze nastane alespon jeden z jevu?

  • agregat se po mm poruchach musi opravit s psti G(m)=1−(1−1ω)mG(m) = 1 - \left(1 - \frac{1}{\omega}\right)^m. ω\omega urcuje prumerny pocet poruch. Pravdepodobnost poruchy za jeden cyklus (smenu?) je pp. Dokazte, ze po nn cyklech se agregat musi opravit s psti W=1−(1−pω)mW = 1 - \left(1 - \frac{p}{\omega}\right)^m.

  • spočítat pst, že náhodně vybrané celé číslo umocněné na druhou končí na jedničku. Pak ještě to samé na doplnění, ale s jedenáctkou na konci pro druhou, případně třetí mocninu

  • příklad na náhodnou procházku

    • nevím doslovné zadání, ale celkem snadno se to dalo převést na příklad jež se dělal na přednášce, a jehož řešení je v úpravě vztahu na rekurzivní vyjádření za pomocí podmínění prvním pokusem

  • Je 2n2n lidí, z toho nn mužů a nn žen. Všichni se náhodně usadí ke stolu (s 2n2n židlemi). Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe?

    • Naváděl mě na princip inkluze a exkluze, ale nakonec jsme to nějak společnými silami (víc jeho než mými :-) vyřešili bez toho.

    • Jako podpříklad jsme vyřešili i toto: Je 10 manželských párů, jaká je pravděpodobnost, že když si sednou ke stolu s dvaceti místy, tak žádní dva manželé nebudou sedět vedle sebe? (toto už je na princip inkluze a exkluze)

  • Mam pytlik a v nem je bila a cerna kulicka. V kazdem tahu vytahnu jednu kulicku. Kdyz vytahnu cernou, hra konci. Kdyz vytahnu bilou, vratim ji a jeste jednu bilou pridam. Jaka je pst, ze v prvnich 50 tazich nevytahnu cernou kulicku. Pro overeni vysledek je 151\frac{1}{51}.

  • 2 manici hazi na stridacku minci (spravedlivou). Vyhrava ten, kdo prvni hodi lic. Jaka je pst, ze vyhraje prvni a jaka, ze vyhraje druhy.

  • Betinec: Procesor ma sirku XX, patice ma sirku YY, kde XX je n.v. s rozdelenim N(10,4)N(10, 4) a YY je n.v. s rozdelenim N(11,5)N(11, 5). Jeden procesor stoji 1 dolar, vyrobite 1000 procesoru. Jaka je stredni hodnota ztraty (tzn. kolik vyrobite procesoru sirsich nez patice)? Pozn.: Temi parametry u XX a YY si nejsem jisty...ale na tom ostatne az tak nezalezi.

  • Betinec: V rybnice plave celkem kk kapru. Z techto kk je mm oznacenych. Nahodne vylovim nn kapru a vidim, ze z nich je xx oznacenych. Jaka je stredni hodnota poctu kapru v rybnice. Jak se zmeni, kdyz taham kapry po jednom (tedy Polyovo urnove schema s δ=−1\delta = -1, neboli spocitat stredni hodnotu hypergeometrickeho rozdeleni). (Pro ujasneni: kk neznam; mm, nn a xx znam)

  • Betinec: Mame nn mereni IQ: X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n. Jsou to nezavisle nahodne veliciny z rozdeleni N(x,152)N(x, 15^2) (stredni hodnotu nevime). Navrhnete, jak byste testovali hypotezu, ze prumerne IQ (tedy ta stredni hodnota) je vetsi rovno 120 oproti alternative, ze IQ je mensi nez 120. Plus pro danych 6 hodnot (pamatuju se jen, ze soucet byl 696) se melo overit, zda hypotezu zamitame/nezamitame (nezamitala se).

Externí odkazy

Category:Matematika%20pro%20informatiky