# ZS 2006/7 Zkoušky: - Celkem 45 bodů, do 38 1, do 32 2, do 25 3. Za prvních pět dokopy je 20 bodů a za poslední příklad je 25. - Čistýho času jsou 2 hodiny. ## Zkouška 19. 1. 2007 - Mame $n$ mereni $X$ a prumer ($\overline{X}_n$) - 4 otazky na rozhodnuti plati/neplati se zdůvodněním nebo důkazem: - $\overline{X}_n$ nezávisí na odlehlých hodnotách $X_i$ - $\overline{X}_n$ je nestrannym odhadem $EX$ - $\operatorname{var}(\overline{X}_n) = n \cdot \operatorname{var}(X_i)$ - $\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 = 1$ - Pokud se nahodny hodnoty trefuji blizko do okoli stredni hodnoty, bude pak smerodatna odchylka: - mala - velka - velmi velka - nespocitatelna - Hodnota, kterou n.v. s pravdepodobnosti $p$ nepreleze se nazyva: - median - $p$-kvantil - $p$-kvartil - distribucni funkce v bode $p$ - Stredni hmotnost narozeneho ditete je 3,4kg, smerodatna odchylka je 450g, normální rozdělení, urcete pravdepodobnost narozeni ditete s vahou mensi nez 2.5kg a **zdůvodněte**: - $1\,\%$ - $2{,}5\,\%$ - $10\,\%$ - $25\,\%$ - Popište: - co je to chyba prvniho druhu - co je to kriticky obor - co je to sila testu - Stroj na generovani nahodnych cifer generuje cislice 0-9, kazde cislo se stejnou pravdepodobnosti - jakým rozdělením se řídí počet sudých číslic vygenerovaných strojem - kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 1 sude - kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 2 sude - kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 10 sudych - Mejme jev $A$, vygenerovana cislice je mensi nez 4 - Navrhnete test na $\alpha$ hladine 0.95, ktery overi hypotezu, ze cetnost $p_A$ vygenerovanych cislic mensich nez 4 neodpovida tvrzeni o idealnosti stroje (stroj je spatny) - Ze 100 pokusu je 35 cislic mensich nez 4, zamitneme hypotezu? - Co kdyz 10x zvetsime vyber a dostaneme 350 cislic mensich nez 4, zmeni se neco na nasem postoji vuci hypoteze? ## Zkouška 22. 1. 2007 - Doba telefonního hovoru se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 2 minuty. Jaká je pravděpodobnost že náhodný hovor bude trvat déle než dvě minuty? \[3 body] - $X_1, \ldots, X_n$ jsou z alternativního rozdělení s parametrem 0,3 a $Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. - Jaké je rozdělení $Y$? - K čemu konverguje $\frac{Y}{n}$? - Jaké má rozdělení $Y$ vztah k Poissonovu rozdělení? \[po 2 bodech, celkem 6] - Teorie: - Čebyševova nerovnost - nestranný odhad - chyba 2.druhu - intreval spolehlivosti \[po 3 bodech, celkem 12] - Opilec má osm klíčů, které jsou nerozeznatelné a snaží se odemknout svůj dům. Po každém odemčení mu klíče upadnou a znova je sebere a zkouší to znova. - Určete rozdělení toho, po kolika pokusech uspěje - Určete pravděpodobnost, že uspěje nejhůře po šesti neúspěšných pokusech. - Určete pravděpodobnost, že uspěje nejdříve po deseti neúspěších za předpokladu, že už 6 neuspěl. - Určete střední hodnotu. \[1+3+3+3 body, celkem 10] - Počet spamů za den se řídí Poissonovým rozdělením $\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ - Ověřte, že $\operatorname{var} X = \lambda$. - $\lambda_0 = 25$, 100 dní - jaká je zhruba pravděpodobnost, že strávím za 100 dní méně než dvě hodiny mazáním spamu, když smazání jednoho trvá 3 sekundy? - Ověřte na $\alpha = 0{,}05$ teorii, že při 100 dnech a celkovém počtu spamů 2650 je $\lambda$ větší než $\lambda_0$ ($\lambda_0 = 25$). \[3+5+6, celkem 14] ## Zkouška 13. 2. 2007 - Má-li doba obsluhy zákazníka ve spořitelně (v minutách) exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 minut, určete, jaká je pravděpodobnost, že - náhodně vybraný zákazník bude obsluhován déle než 5 minut - nejdelší z šestice nezávislých dob obsluhy nepřekročí 10 minut - určete rozptyl aritmetického průměru dob obsluhy 100 zákazníků \[2+3+2] - Vysvětlete následující pojmy: vychýlený odhad, obor přijetí, chyba 1. druhu, intervalový odhad, zákon velkých čísel, Bayesova věta \[6x3 punkten] - V lisovně plastů vyrábějí obaly na CD. Tloušťka jednoho obalu je určena náhodnou veličinou s rozdělením $N(10\,\mathrm{mm}, 0{,}25\,\mathrm{mm}^2)$. Obaly se vkládají do krabic (v jedné řadě jako knížka do knihovny), které dodává jiný výrobce. Vnitřní šířka krabice je popsána náhodnou veličinou s rozdělením $N(1014\,\mathrm{mm}, 24\,\mathrm{mm}^2)$. Předpokládejme, že šířky jednotlivých obalů jsou nezávislé jak navzájem, tak i šířkou krabice. Jaká je pravděpodobnost, že se do krabice nevejde 100 CD. \[fünf punkten] - Typický pražský Cajzl jezdí každý den krtkem do a z práce, kdy interval mezi jednotlivými vlaky je 4min - stejně i v době návratu domů. Jsou-li v uvažovaných denních dobách všechny okamžiky zaměstnancova vstupu na nástupiště stejně možné, je i jeho doba čekání na vlak ($X$) náhodnou veličinou. - určete rozdělení veličiny $X$, její střední hodnotu a rozptyl - určete přibližnou pravděpodobnost, že během 1. čtvrtletí (63 pracovních dnů) stráví při cestách do práce a zpět čekáním na vlak více než 3 a tři čtvrtě hodiny. - Strávil-li onen cestující během posledního čtvrtletí čekáním na peróně 275 min, otestujte na hladině $\alpha = 0{,}05$, zda lze zpochybnit 4-minutový interval mezi jednotlivými vlaky udaný v jízdním řádu. - řádně zformulujte hypotézy - řádně zformulujte rozhodovací pravidlo - proveďte test \[4+5+6] # ZS 2005/6 a starší - **už neplatí, systém zkoušení byl změněn** - rozebíráno v diskusi [mff.fear.cz](http://mff.fear.cz/forum/viewforum.php?f=40) - od zkoušky asi opravdu nejde "vyletět", človek z něhož toho Antoch dostane opravdu málo má při nejhorším za 3 (nebo si může zvolit možnost přijít příště, bez jakékoliv penalizace ;) ## teoretické úlohy, které rozdával na zkoušce (z mff fear, ale (skoro) všechno hezky pohromadě) - **Podmíněná pravděpodobnost**, vsecko OK, az do chvile, nez se me zeptal na neco jako, kdyz mame dva nezavisle jevy $A$, $B$,... tak jesli nam muze byt k necemu vysledek prvniho pokusu, pri zkoumani toho dalsiho. No rekl jsem, ze ne, ze od toho jsou nezavisle. Nasledovala etida na tema at si to jeste rozmyslim, ktera skoncila nekde u nahodnych prochazek. - **Věta o úplné pravděpodobnosti**. - **Náhodná procházka**. - **Bayesova veta**. Ptal se i na pouziti, tak jsem mu vypravel o testech aids. - **Pravděpodobnostní prostor**. - **Náhodná veličina** - definice, význam, příklady spojité a diskrétní n.v. - Povězte mi co víte o **spojité náhodné veličině**. - stačí nakreslit pár obrázku, uvést pár příkladů a popsat co to je střední hodnota apod. - **neslucitelnost X nezavislost u nahodnych jevu a velicin**. U nezavislosti nahodnych velicin jsem napsal pouze kovarianci a korelaci, coz mu stacilo. Jeste jsme resili jak vypada sjednoceni $k$ nahodnych jevu (jevy nemusi byt disjunktni) - tam se pouzije princip inkluze a exkluze a jak vypada prunik tri nahodnych jevu (ne nutne nezavislych) - pomoci podminene psti. - **Věta o konvoluci**. - Vsechno co vim o **Normalnim rozdeleni**. - **Čebyšeova nerovnost a věta** - obojí s důkazem - **Vytvořující funkce** (definice, jak se používá, proč se zaváděla). - **Centrální limitní věta**, pouziti pro n.v. $\sim \mathrm{Bi}(n,p)$. - **Testování hypotéz** (spis uvod, nulova hypoteza, $\alpha$, sila testu). - statistická otázka - **testování středních hodnot dvou nezávislých výběrů** ( úloha z domácího úkolu - jak na základě naměřeného vzorku výšek mužů a žen určit, zda jsou muži stejně vysocí jako ženy ). - **regrese** - **teoria odhadu** ## praktické příklady, které rozdával na zkoušce - Jaká je pravděpodobnost, že pěticiferné číslo z rozsahu 00001-99999 neobsahujé žádné dvě stejné cifry. - V telefonní síti je průmerný počet výpadků za měsíc na jednoho účastníka 8. Jaká je pravděpodobnost, že jeden účastník zaznamená více než 4 výpadky. - Strelec strili do terce, zasah 0-10b, pst ze trefi v souctu 30b je 0.008, pst, ze trefi v jednom vystrelu $P(x < 8) = 0.4$, $P(x = 8) = 0.15$. Jaka je pst, ze trefi alespon 28b ve trech vystrelech. - máme 18 střelců, 5 z nich trefí cíl s pravděpodobností $90\,\%$, 7 z nich trefí cíl s pravděpodobností $80\,\%$, 4 z nich trefí cíl s pravděpodobností $60\,\%$, 2 z nich trefí cíl s pravděpodobností $50\,\%$. Náhodně vybereme střelce a on mine. Určete, v jaké skupině střelců nejpravděpodobněji je. - Mate navzajem disjunktni jevy $A, B, C, D$ + prislusne psti, jaka je pravdepodobnost, ze nastane alespon jeden z jevu? - agregat se po $m$ poruchach musi opravit s psti $G(m) = 1 - \left(1 - \frac{1}{\omega}\right)^m$. $\omega$ urcuje prumerny pocet poruch. Pravdepodobnost poruchy za jeden cyklus (smenu?) je $p$. Dokazte, ze po $n$ cyklech se agregat musi opravit s psti $W = 1 - \left(1 - \frac{p}{\omega}\right)^m$. - spočítat pst, že náhodně vybrané celé číslo umocněné na druhou končí na jedničku. Pak ještě to samé na doplnění, ale s jedenáctkou na konci pro druhou, případně třetí mocninu - příklad na náhodnou procházku - nevím doslovné zadání, ale celkem snadno se to dalo převést na příklad jež se dělal na přednášce, a jehož řešení je v úpravě vztahu na rekurzivní vyjádření za pomocí podmínění prvním pokusem - Je $2n$ lidí, z toho $n$ mužů a $n$ žen. Všichni se náhodně usadí ke stolu (s $2n$ židlemi). Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? - Naváděl mě na princip inkluze a exkluze, ale nakonec jsme to nějak společnými silami (víc jeho než mými :-) vyřešili bez toho. - Jako podpříklad jsme vyřešili i toto: Je 10 manželských párů, jaká je pravděpodobnost, že když si sednou ke stolu s dvaceti místy, tak žádní dva manželé nebudou sedět vedle sebe? (toto už je na princip inkluze a exkluze) - Mam pytlik a v nem je bila a cerna kulicka. V kazdem tahu vytahnu jednu kulicku. Kdyz vytahnu cernou, hra konci. Kdyz vytahnu bilou, vratim ji a jeste jednu bilou pridam. Jaka je pst, ze v prvnich 50 tazich nevytahnu cernou kulicku. Pro overeni vysledek je $\frac{1}{51}$. - 2 manici hazi na stridacku minci (spravedlivou). Vyhrava ten, kdo prvni hodi lic. Jaka je pst, ze vyhraje prvni a jaka, ze vyhraje druhy. - Betinec: Procesor ma sirku $X$, patice ma sirku $Y$, kde $X$ je n.v. s rozdelenim $N(10, 4)$ a $Y$ je n.v. s rozdelenim $N(11, 5)$. Jeden procesor stoji 1 dolar, vyrobite 1000 procesoru. Jaka je stredni hodnota ztraty (tzn. kolik vyrobite procesoru sirsich nez patice)? Pozn.: Temi parametry u $X$ a $Y$ si nejsem jisty...ale na tom ostatne az tak nezalezi. - Betinec: V rybnice plave celkem $k$ kapru. Z techto $k$ je $m$ oznacenych. Nahodne vylovim $n$ kapru a vidim, ze z nich je $x$ oznacenych. Jaka je stredni hodnota poctu kapru v rybnice. Jak se zmeni, kdyz taham kapry po jednom (tedy Polyovo urnove schema s $\delta = -1$, neboli spocitat stredni hodnotu hypergeometrickeho rozdeleni). (Pro ujasneni: $k$ neznam; $m$, $n$ a $x$ znam) - Betinec: Mame $n$ mereni IQ: $X_1, X_2, \ldots, X_n$. Jsou to nezavisle nahodne veliciny z rozdeleni $N(x, 15^2)$ (stredni hodnotu nevime). Navrhnete, jak byste testovali hypotezu, ze prumerne IQ (tedy ta stredni hodnota) je vetsi rovno 120 oproti alternative, ze IQ je mensi nez 120. Plus pro danych 6 hodnot (pamatuju se jen, ze soucet byl 696) se melo overit, zda hypotezu zamitame/nezamitame (nezamitala se). ## Externí odkazy - [Pravděpodobnost a statistika hypertextově](http://home.zcu.cz/%7Efriesl/hpsb/) - [Pravděpodobnost a statistika pro FEL KMA/PSE](http://home.zcu.cz/%7Esediva/pse.htm) - [Poznámky od Tuetscheka](http://tuetschek.wz.cz/schule/pms.htm) - [http://www.cihak.com/michal/](http://www.cihak.com/michal/) - [Příklad zadání zápočtové písemky](http://store.ufajr.net/pspis/pspis.html) - [Diskuze současných třeťáků](http://forum.matfyz.info/viewforum.php?f=161) [Category:Matematika pro informatiky](Category:Matematika%20pro%20informatiky)