Žemlička 6.1.2017 (předtermín)

Prvních 14 otázek klasicky viz http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka ... otazky.pdf

15. Je-li $G(\cdot)$ grupa, $g \in G$ a $\Omega_g : G \rightarrow G$ zobrazení dané předpisem $\Omega_g(h) = g^{-1} \cdot h \cdot g$, dokažte, že je $\Omega_g$ izomorfismus na grupě $G(\cdot)$ (uvádějte jaké axiomy grupy v důkazu používáte).

16. Nechť $p$ je prvočíslo a $n$ přirozené číslo. Za předpokladu, že existuje ireducibilní polynom stupně $n$ nad tělesem $\mathbb{Z}_p$, dokažte existenci tělesa o $p^n$-prvcích (používaná tvrzení korektně zformulujte).

Hinty k řešení:

V úloze 15 třeba dokázat, že zobrazení je slučitelné s operací, že je prosté a že je na.
Slučitelnost lze dokázat přímočaře s pomocí axiomů grupy, cílem je rovnost $\Omega_g(h_1 \cdot h_2) = \Omega_g(h_1) \cdot \Omega_g(h_2)$. Stačí rozepsat levou a pravou stranu.
Prostota se dokáže zase pomocí axiomů a úpravami rovnice, cílem je implikace $\Omega_g(h_1) = \Omega_g(h_2) \Rightarrow h_1 = h_2$.
Že je zobrazení na se ukáže tak, že pro každé $z$ najdete vzor. To splňuje třeba $\Omega_g(g \cdot z \cdot g^{-1}) = z$.

Úloha 16 viz skripta.