Žemlička 6.1.2017 (předtermín)

Prvních 14 otázek klasicky viz http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka ... otazky.pdf

15. Je-li G(\cdot) grupa, g \in G a \Omega_g : G \rightarrow G zobrazení dané předpisem \Omega_g(h) = g^{-1} \cdot h \cdot g, dokažte, že je \Omega_g izomorfismus na grupě G(\cdot) (uvádějte jaké axiomy grupy v důkazu používáte).

16. Nechť p je prvočíslo a n přirozené číslo. Za předpokladu, že existuje ireducibilní polynom stupně n nad tělesem \mathbb{Z}_p, dokažte existenci tělesa o p^n-prvcích (používaná tvrzení korektně zformulujte).

Hinty k řešení:

V úloze 15 třeba dokázat, že zobrazení je slučitelné s operací, že je prosté a že je na.
Slučitelnost lze dokázat přímočaře s pomocí axiomů grupy, cílem je rovnost \Omega_g(h_1 \cdot h_2) = \Omega_g(h_1) \cdot \Omega_g(h_2). Stačí rozepsat levou a pravou stranu.
Prostota se dokáže zase pomocí axiomů a úpravami rovnice, cílem je implikace \Omega_g(h_1) = \Omega_g(h_2) \Rightarrow h_1 = h_2.
Že je zobrazení na se ukáže tak, že pro každé z najdete vzor. To splňuje třeba \Omega_g(g \cdot z \cdot g^{-1}) = z.

Úloha 16 viz skripta.