[Zk] 27.1.2012

Zrovna jsem (den po zkoušce) zjistil, že p. Žemlička má na webu soupis všech úkolů z bodů 3. až 16. písemky:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka ... otazky.pdf
Jak dlouho to tam má? To kdybych věděl před zkouškou (ale naštěstí mám)...

1. Dokažte, že alespoň dvouprvkový okruh je těleso právě tehdy, když má právě dva levé ideály.

2. Dokažte, že Booleova algebra je izomorfní nějaké Booleově algebře nad nějakou potenční množinou.

3. Definice monoidu + příklad monoidu, který není grupou.

4. Co je faktorová grupa podle normální podgrupy.

5. Jsou kladná čísla podgrupa grupy $\mathbb{R}(+)$ ?

6. Obsahuje každá aspoň dvouprvková konečná grupa nějakou konečnou aspoň dvouprvkovou cyklickou podgrupu?

7. Definuj algebru a podalgebru.

8. Uveď 2. větu o isomorfismu pro grupy a pro algebry.

9. Je izomorfní $\mathbb{R}(+)$ a $\mathbb{R}^*(\cdot)$

10. Definuj komplement prvku ve svazu. Musí být vždycky maximálně jeden?

11. Úplný svaz, který není Booleovou algebrou.

12. Příklad okruhu, který není tělesem.

13. Kolik je $5^{-1}$ v $\mathbb{Z}_{22}(\cdot)$?

14. Nakresli Hasseův diagram $\mathbb{Z}_{18}(+)$.

15. Kolik podgrup řádu 4 má $S_4(\circ)$?

16. Je grupa $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}(+)$ cyklická?