Algebra v obrázcích :: Matfyz.info

Obsah této stránky je plně přístupný jakýmkoli prohlížečem. Nejlépe však vypadá v prohlížeči respektujícím platné standardy HTML a CSS. Váš prohlížeč tyto standardy nerespektuje a proto vám doporučujeme jeho upgrade.

Algebra v obrázcích (aneb tak to vidí Tutchek)

Hostováno na serveru matfyz.info.

Značení (aneb co tím autor chtěl říci)

Algebry, homomorfismy, kongruence

Slučitelnost s operací, ergo pokud to nejprve zobrazím a pak aplikuji operaci, musí mi vyjít to samé jako kdybych nejprve použil operaci a zobrazil až výsledek.

Faktor množiny A podle relace ρ, vyznačena třída ekvivalence (chlívek) "diamant"

Jádro zobrazení f, kerf: (a,b) ∈ kerf ↔︎ f(a) = f(b).

Přirozená projekce π_ρ (prostě zobrazí prvek na jeho třídu ekvivalence)

Relace ρ slučitelná s operací α, česky řečeno, mám-li n-ární operaci, tak pro každé dvě n-tice pro které platí, že odpovídající si složky n-tice jsou v relaci, tak výsledky operace musí být také v relaci.

Operace α na faktoru množiny A podle relace ρ, neboli pokud chci aplikovat na třídy ekvivalence operaci, tak ji aplikuji na reprezentanty té třídy, a výsledkem je třída ekvivalence výsledku (ještě zamotanější než obrázek, co?)

Grupoid, monoid, grupa, okruh - nepotřebuje komentář... prostě dědičnost jako z C++

Uzávěrové systémy na algebře

Uzávěrový systém. Systém množin, který obsahuje danou množinu a je uzavřený na průniky, tzn, když mám v systému množiny A a B, musím tam mít i A ∩ B (jejich průnik)

Uzávěr množiny B v C. Jde o to vybrat nejmenší množinu v uzávěrovém systému, která obsahuje mou množinu. Dá se to říct i tak, že vezmu průnik všech množin, které obsahují (celou) mou množinu. Výběr je jednoznačný, protože, pokud by přicházely v úvahu dvě množiny, musela by existovat množina třetí, kjterá by byla průnikem těch dvou. Ta třetí množina by obsahovala mou množinu a byla by menší než obě sporné množiny (opět to spíš zamotávám ;)

Uzávěrový operátor α. Je to zobrazení z do potenční množiny A (prostě vezmu nějaké podmnožiny a ty zobrazuji na jiné podmnožiny). Pro to zobrazení platí následující jednoduchá pravidla: Obraz množiny B je větší nebo rovno množině B (obraz obsahuje vzor). Obraz množiny B je rovný dvojnásobnému obrazu B (ergo α(α(B)) = α(B), neboli další aplikací uzávěrového operátoru si prostě nepolepším). No a nakonec pokud je B obsaženo v C, tak na tomto stavu nic nezmění ani to, pokud ty množiny zobrazím — obraz B je obsažen v obrazu C.

A algebra, X ⊆ A, A uzávěrový systém všech podalgeber (A₁ až A₇ podalgebry). Množina X generuje podalgebru cl_A(X). Jinými slovy, mám-li uzávěrový systém tvořený podalgebrami, X generuje podalgebru která tvoří jeho uzávěr.

Reflexivní tranzitivní uzávěr relace ρ — (ρ ∪ id)⁺

Izomorfismy algeber

Relace σ/ρ na A/ρ: ([a]_ρ,[b]_ρ) ∈ σ/ρ (a,b) ∈ σ. Česky řečeno, snažím se dát do relace chlívky, taklže se neprve meknu jeslti jsou v relaci jeich reprezentanti.

Svazy

Uspořádání na množině M. Reflexivní tranzitivní relace ≤ pro kterou platí a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b (a dá se to nakreslit jako takováhle změť šipek).

Lépe je vidět struktura té množiny z Hasseova diagramu

Nejmenší, největší prvek, infimum, supremum, spojení (∧), průsek (∨), svaz. Od pohledu je vidět, že tahle obludka je svazem - pro každou dvojprvkovou množinu najdu její infimum a supremum.

Operátor pokrytí - voilá, vypývá z Hasseova diagramu (nebo Hasseův diagram z pokrytí? co bylo řív? slepice nebo vejce? kdo ví). Rozhodně a pokrývá b, pokud a ≠ b, a ≤ c ≤ b → a = c ∨ b=c. Česky, pokud A pokrývá B, tak potom neexistuje žádné C, které by se mezi ně nacpalo. Operátoru pokrytí odpovídají šipky v Hasseově diagramu.

e nejmenší prvek svazu, f největší prvek svazu. Potom prvky které pokrývají e se nazývají "atom" a prvky které pokrývá f se nazývají "koatom".

Galoisova korespondence. Dvojice zobrazení mezi potenčními množinami (prostě podmnožiny na podmnožiny), která se řídí následujícími pravidly: Nezachovává uspořádání - pokud množina A obsahovala podmnožinu B, tak obraz množiny B obsahuje obraz množiny A. A pokud zobrazím množinu A → α(A) a tento obraz zpět α(A) → βα(A), tak bude platit A ⊆ βα(A). Na první pohled nemusí být jasné k čemu to je, tak se pokusíme uvést příklad.

Mějme dvě množiny — A množina objektů a B množina jejich vlastností. A ⊇ A₁ množinu jablek a A ⊇ A₂ množinu ovoce. Zjevně je množina jablek podmnožinou ovoce (alespoň se to v mateřské škole vyslovuje jako tvrzení bez důkazu, dokažte si za cvičení). Pokud ale vezmu zobrazní α, které přiřadí objektu jeho vlastnosti, je evidentní že všechny vlastnosti jaké má ovoce musí mít i jablka - jablka koupíte v ovoce/zelenina, je zdravé a dá se z toho dělat mošt. Na druhou stranu jablka mají vlastnosti, které každé ovoce mít nemusí... třeba jádřinec... kdo najde v banánu jádřinec má bod. V opačném směru máme B ⊇ B₁ české regiony, a B ⊇ B₂ evropské regiony. Opět platí fakt B₁ ⊆ B₂ (tvrzení bylo vysloveno na základní škole a bylo dokázáno nepřímo, prstem na mapě). Pokud zobrazíme tyto množiny vlastností do množiny objektů, opět se nám prohodí inkluze. Zobrazení β zobrazuje regiony na značky piva, které se točí v celéím regionu. Je evidentní, že zatímco v celé evropě si můžu koupit Pilsner urquel, takový gambáč v Zadaru nebo Berlíně seženu těžko. Takže po Česku mám hromadu piv které koupím v každém kraji (Plzeň, Gambrinus, Staropramen, Svijany [když se budete snažit], Heineken, Amstel,...), ale celoevropské pivo je tak maximálně Plzeň, Heineken a Amstel. Druhá podmínka říká, že když to zobrazím tam a zpátky tak se mi výsledná množina zvětší. A opravdu, vezmu pivo svijany. To má vlastnost že je z libereckého kraje. Ale z libereckého kraje je nejen svijanské pivo, ale i hokejový tým Bílí tygři (prostě je toho najednou víc). A naopak... V liberci koupíte gambáč. Ale ten se dá koupit po celé ČR. Takže i v tomto směru je to ok. Výsledkem je, že dvojice zobrazení α - přiřadí objektu jeho vlastnosti a β - přiřadí všem vlastnostem odpovídající objekty, jsou galoisovou korespondencí.

Grupy

Násobení množin... zleva, zprava...

Lmod, rmod. Mám grupu G a její podgrupu H. Potom (a,b) ∈ rmod H ↔︎ ab^-1 ∈ H. (a,b) ∈ lmod H ↔︎ a^-1b ∈ H.

Index podgrupy H v grupě G ([G:H]) - protě počet tříd ekvivalence relace rmodH. Dále řád grupy |G| a ukázka Lagrangeovy věty v praxi.

<a> nazveme nejmenší podgrupu, která obsahuje a. Na obrázku je grupa G a všechny její podgrupy. Je vidět, že existuje prvek Z, pro který <Z> = G. Pak ale dle definice je G cyklická.

Eulerova funkce φ: N → N podle definice určuje počet všech menších nesoudělných čísel než dané číslo. Tzn φ(16) = 8, jak je vidět z obrázku.

Okruhy a ideály

Levý/pravý ideál, ideál. R(+,•,-,0,1) okruh, I ⊆ R, I podgrupa R(+,-,0), ∀ i ∈ I, r ∈ R: ir ∈ I (pravý ideál) nebo ri ∈ I (levý ideál). Pokud platí oboje, je to prostě ideál.

Vlastní ideál je každý ideál, který není zcela tvořen okruhem (R = I) a nebo jenom jednoprvkovou množinou {0} (I = {0}). Tyto dva nazýváme triviální ideál. Tak pokud vyloučíme tyto patologické jevy, vše co zbude jsou vlastní ideály. Pokud mám navíc nějakou množinu A, tak o nejmenším ideálu, který obsahuje A řekneme, že je to ideál generovaný množinou A.