[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018

Zadání dnešní zkoušky.

Attachments:

• DSC_0569.JPG

Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.

1. a) Je to jako alternativní rozdělení. P[Emil vyhraje] = 1/6 + 2/61/6 + (2/6)^21/6 + ... = 1/4
   b) 1/6+1/31/6+(1/3)^21/6 + ... = 1/4
   c) 1/62 + 1/31/64 + (1/3)^21/6*6 + ..., given 1/4 = 3

2. a) var X = E[(X-EX)^2] = E[X^2] - (EX)^2, střední kvadrát odchylky od očekávané hodnoty, variance proměnné
   b) Snazší pro oba případy je většinou druhá forma, tedy E[X^2] pro diskrétní = \sum_{x \in \Omega} x^2 P[X=x], pro spojitou = \int_\Omega x^2 f_X(x) dx
   c) E[X^2] = 1/6 * \sum_1^6 i^2 = 15, E[X] = 3.5, var X = 2.75

3. a) P[X > 2] = 0.5, neboť nebyl kladem požadavek na kvalitu odhadu. Rozumnější je však přes charakteristickou funkci, např. P[X > 2] = 1/n * \sum \chi[X_i > 2]
   b) Je nestranný, neboť E[\chi[X_i > 2]] = P[X_i > 2], konzistentní z podobného důvodu.
   c) P[EX - sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha/2) \le x \le EX + sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha)] \rightarrow 1-\alpha, I guess
   EDIT (K. B.): Je to vztah ze skript str. 24 dole, jen místo střední hodnoty (odhad F(x)) je 1-F(2).
   d) TODO

4. a) P[ |\sum X - 200| > 15] = P[ \sum X - 200 > 15] + P[ \sum X - 200 < -15] = P[ (\sum X - 200)/sqrt(80001/43/4) > 15/sqrt(80001/43/4)] + P[ (\sum X - 200)/sqrt(80001/43/4) < -15/sqrt(80001/43/4)] = 1- 2*P[... < 0.387298335] = 0.3493
   b) Podobně, akorát kvantilová funkce místo

5. a) P[ |X-EX| > s] \le varX/s^2, důkaz bez Markovovskou nerovnost nevím
   b) var[\sum X_i] = \sum_{i\le j} cov[X_i, X_j]
   c) P[ |avg X-EX| > s] \le varX/s^2
   P[ |\avg X_i - EX| > s] < varX/s^2 = 1/n varX_1/s^2 = 1/n var X_1/s^2 -> 0
   d) Konvergence v pravděpodobnosti a distribuci

6. a)
   P[X,Y]:
   [0,1] = [1,1] = 1/4
   [0,2] = [2,2] = 1/16
   [1,2] = 1/8
   [0,3] = [3,3] = 1/32
   [1,3] = [2,3] = 4/32
   b)
   E[X|Y=3] = 3/4+1/4+2/4 = 1.5

Moje řešení:

1.
a) Není potřeba sčítat řadu; můžeme si napsat rekurenci pro pravděpodobnost, že Emil vyhraje ($p_e$):
$p_e = \frac{1}{3}\Big( \frac{1}{2}*1 + \frac{1}{2}*0 \Big) + \frac{2}{3}\Big( \frac{1}{2}*p_e + \frac{1}{2}*0 \Big)$
Členy po řadě vyjadřují tyto případy: E se strefí a D ne, E se strefí a D taky, E se nestrefí a D taky ne, E se nestrefí a D ano.
Vyřešíme a dostaneme $p_e = \frac{1}{4}$
b) Stejný koncept, jen koeficienty členů budou jinak. Nakonec ale stejně vyjde $p_r = \frac{1}{4}$
c) Opět postavíme rekurenci:
$Eh_r = 2 + \frac{2}{3}\frac{1}{2}Eh_r$
Jednou oba hodí a pak pokud se oba strefí (s pravděpodobností $\frac{2}{3}\frac{1}{2}$), tak házíme znova, čili musíme tuto p.st vynásobit $Eh_r$. V ostatních případech se znovu už nehází. Vyjde $Eh_r = 3$.

2.
a) skripta; $\operatorname{var}X = \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)$
b) Diskrétní: Označme $S$ množinu hodnot $X$. Pak $\operatorname{var}X = \sum_{a \in S} (a - \operatorname{E}X)^2 P[X = a]$
Spojité: $\operatorname{var}X = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \operatorname{E}X)^2 f(x) \, dx$
c) vyjde $\frac{35}{12} \approx 2.91$

3.
a) $\hat{p} = \frac{1}{n} \sum \chi[X_i > 2]$
b) Plyne z nestrannosti a konzistentnosti empirické distribuční funkce, ale nevím, jestli Hlubinkovi tohle stačí.
c) Označme $p=P[X>2]$. Hledáme $l$ a $u$ takové, že nezávisí na $p$ (jen na náhodných pokusech), a $P[l \leq p \leq u] > 1 - \alpha$.
Mějme náhodný výběr $X_1 \ldots X_n$ a zaveďme $Y_i = \chi[X_i > 2]$. Pak $Y_i$ mají Bernoulliho rozdělení s parametrem $p$. Použijeme CLV:
$P\Big[ \Phi^{-1}\big(\frac{\alpha}{2}\big) \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} Y_1}}(\overline{Y} - p) \leq \Phi^{-1}\big(1 - \frac{\alpha}{2}\big) \Big] \approx 1 - \alpha$
Z toho bychom chtěli vyjádřit $p$. Pro stručnost jen pravá nerovnost. Označme $d = \Phi^{-1}\big(1 - \frac{\alpha}{2}\big)$ upravíme na

$P\Big[ \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} Y_1}}(\overline{Y} - p) \leq d \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}$
$P\Big[ -d \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} Y_1}}(p - \overline{Y}) \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}$
$P\Big[ \overline{Y} - d\sqrt{\frac{\operatorname{var} Y_1}{n}} \leq p \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}$
$\operatorname{var} Y_1$ ale neznáme, tak ho nahradíme výběrovým rozptylem (Sluckého věta nám to umožňuje)
$P\Big[ \overline{Y} - d\sqrt{\frac{\overline{Y}(1-\overline{Y})}{n}} \leq p \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}$

A máme dolní hranici intervalu. Podobně pro druhou.

4.
a) Použití CLV:
$P[185 \leq n\overline{X}] = P\Big[\frac{185}{n} - p \leq \overline{X} - p\Big] = P \Big[ \frac{185}{n} - p \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} X}}(\overline{X} - p) \Big]$
$P \Big[ \frac{185}{n} - p \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} X}}(\overline{X} - p) \Big] \rightarrow 1 - \Phi \Big(\frac{185}{n} - p \Big)$
Dosadíme
b) Analogicky, ale pravděpodobnost máme danou a místo toho musíme najít číslo, které dosadíme na místo, kde je teď $185$. Pak použijeme inverzní (kvantilovou) funkci.

5.
a)
$P \big[ \lvert X - \operatorname{E}X \rvert > \epsilon \big] \leq \frac{\operatorname{var} X}{\epsilon^2}$
Důkaz analogicky s Markovovou; rozepíšeme integrály. Předpokládejme BÚNO $\operatorname{E}X = 0$. Pak tedy
$P \big[ X > \epsilon \big] \leq P \big[ \lvert X \rvert > \epsilon \big] \leq \frac{\operatorname{var} X}{\epsilon^2}$
$P \big[ X > \epsilon \big] = \int_{\epsilon}^{\infty} f(x) \, dx \leq P \big[ X > \epsilon \big] = \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{x^2}{\epsilon^2} f(x) \, dx$
$\int_{\epsilon}^{\infty} \frac{x^2}{\epsilon^2} f(x) \, dx \leq \frac{1}{\epsilon^2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx = \frac{\operatorname{var} X}{\epsilon^2}$
b) skripta
c) skripta
d) konvergence v distribuci (skripta)

6.
a) přeskakuji
b) $\frac{3}{2}$

vychutnejte si retro smajlíky :D :) :( :o :shock: :oops: :oops: :roll: :roll: :lol: :lol: :mrgreen: