01.02.2013 - Zkouška

1. Házíme šestistěnou symetrickou kostkou šestkrát za sebou (nebo šesti kostkami?). Spočtěte distribuční funkci náhodné veličiny Y = max K_i kde i=1,..,6 kde K_i je číslo které padne na šestistěné symetrické kostce. (Jinými slovy P(Y = k) = pravděpodobnost že maximum ze všech hodů je k)

[5 bodů]

2. Podíl mužů a žen je R. Podíl barvoslepých mezi muži je p. Podíl barvoslepách mezi ženami je p^2.
   Vybereme barvoslepého, s jakou pravděpodobností je to muž?

(někdo se ptal, co znamená podíl na což antoch reagoval že to je skutečně podíl a ne pravděpodobnost)

[5 bodů]

3. Metro s intervaly 10 minut, náhodná veličina X je doba čekání (plus něco se stejnou pravděpodobnosti, prostě co indikovalo že je to rovnoměrné rozdělení).
   a) rozdělení ( je to rovnoměrné R[0,10])
   b) střední hodnota
   c) rozptyl
   d) pst že bude čekat míň než 720 minut za 72 dnů cesty tam a zpět (aka CLV pro n = 2*72)

[2+2+2+4 = 10 bodů]

4. Odhadněte metodou momentů parametr LAMBDA v exponenciálním rozdělení Exp (LAMBDA) pokud máte k dispozici náhodný výběr velikosi n

[5 bodů]

5. Čebyševova nerovnost, důkaz, příklad použití, interpretace
   Věta o úplné pravděpodobnosti, důkaz, příklad použití
   Jevy B_1, ..., B_n co je sdružená nezávislost a neslučitelnost
   Generátor čísel 0-9, výrobce tvrdí že generuje čísla rovnoměrně náhodně. Formulujte hypotézu která to ověřuje nebo vyvrací.
   [5+5+5+5 = 20 bodů]

BTW: máte někdo v SISu známku?

(Nemám tu papír s otázkami, takže čísla jsou někdy vymyšlená a otázky nepřesné a neúplné. Pokud papír najdu, tak to doplním.)

--
Odpověď na 1. otázku (neručím za správnost).

P(Y = k) = P(max K_i = k) = P(max K_i <= k) = P(K_1 <= k and K_2 <= k and ... and K_6 <= k) = (házení kostkou je nezávislé) = P(K_1 <= k) * ... * P(K_6 <= k) = k/6 * ... * k/6 = (k/6)^6

Do SISu známky zapisuje až po zapsání do indexu :)

v 1. chtěli rozdělení. protože jsem nevěděl, jestli mám dělat distribuční funkci, nebo hustotu, spočítal jsem radši obojí. obojí celkem šlo a jak si to pamatuju, Davpeho výsledek je správně

v 3. d) to bylo 750 minut, pro 720 se dá celkem snadno vidět, že to je 50%

v 5. d) byla myslím zadaná hypotéza A, že vygenerované číslo je < 4 se správnou pravděpodobností (4/10), a s ní se to mělo testovat. jako obvykle s chybou prvního druhu 5%

Odpověď na 1. otázku (neručím za správnost).

P(Y = k) = P(max K_i = k) = P(max K_i <= k) = P(K_1 <= k and K_2 <= k and ... and K_6 <= k) = (házení kostkou je nezávislé) = P(K_1 <= k) * ... * P(K_6 <= k) = k/6 * ... * k/6 = (k/6)^6

to ne - tomuhle by vyhovoalo pro $k=6$ i naházené samé jedničky. Je potřeba si uvědomit, že alespoň jedno musí padnout $k$, jinak $max$ nikdy $k$ nebude. Tedy $1/6 * (k/6)^5$ - první kostka fixně stanoví maximum a po ostatních chceme pouze to, že budou menší rovny

Bohužel, myslím, že opět nemáš pravdu. Na první pohled to vypadá logicky, ale když si rozkreslíš množinu všech 36 možných výsledků pro hod dvěma kostkami, Tvůj vzorec (po příslušné úpravě) selže. Problém totiž dělá to, že připustíš rovnost na těch kostkách. Vzniknou tam pak "překryvy" možností, které počítáš vícekrát. Když tam rovnost naopak nepřipustíš (zůstane ostrá nerovnost u zbývajících kostek), některé možnosti vynecháš.

Když se to rozebere kombinatoricky:

• $k$ padlo na jedné z kostek a na ostatních $n-1$ kostkách číslo menší než $k$

• $k$ padlo na dvou z kostek a na ostatních $n-2$ kostkách číslo menší než $k$

• ...

• $k$ padlo na všech $n$ kostkách

Tedy:

• jednu pozici z celkových $n$ zaberu hodnotou ok $k$ a zbyde mi jich $n-1$ pro hodnoty menší než $k$ a takových je $k-1$. Zároveň mám celkem $n$ způsobů, jak zvolit kostku, na které padlo ono $k$, protože kostek je $n$. Takže to je $n(k-1)^{n-1}$

• Obdobně jako výše; ale mám ${n \choose 2}$ způsobů, jak zvolit kostky, na kterých padlo ono $k$, protože vybírám dvojice kostek z $n$. Takže to je ${n \choose 2}(k-1)^{n-2}$

• a takto dále... Možná je už něco vidět... :D

Je jasné, že výsledek - tedy počet příznivých možností, který hledáme, je součtem (dle kombinatorického pravidla součtu) výše vyjmenovaných možností. Dostáváme tedy Binomickou větu pro $x=k-1$ a $y=1$. Všech možných výsledků na $n$ kostkách je $6^n$. Výsledná pravděpodobnost tedy je:

$$P(max\{X_{j}\}=k)=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {n \choose i}(k-1)^{n-i}}{6^n}$$.

Formuli jsem kontroloval pro $n=2$ a $k=4$ s použitím rozkreslení všech možností a funguje; pro větší čísla jsem to nezkoušel.