zkouška 24.1.2011

Tak jaké byly otázky? Pochlubte se. :)

hraje se hra s balickem 32 karet. Tahate 2 karty (aniz by se vracela prvni pred tazenim druhe). Kdyz vytahnete 2 se stejnou hodnotou dostanete od protihrace X penez kdyz nemaji stejnou hodnotu tak date protihraci Y (karty tahate jen vy). Jak zvolena X,Y jsou vyhodna pro druheho hrace (banker).

revizor z vlastni zkusenosti vi, ze 26% lidi jezdi na cerno. Kolik musi zkontrolovat lidi pokud chces psti 0.95 chytit alespon 1 cerneho pasazera. Kolik musi zkontrolovat kdyz chce s psti 0.95 chytit alespon 10.

teorie: co je to n.v. + priklad. kovariance a vlastnosti, sila testu, hustota psti, ..

dokazat cebysevovu nerovnost

normalni rozdeleni s mi=0, a laplaceovo .. zvolit sigma^2 resp. beta pro norm. resp. laplaceovo rozdeleni tak aby meli var=1 ... pak spocitat P(|X|>1)

dve kostky, zajima nas maximum z toho co na nich padne ... distribuce?, spocitat EX, spocitat smerodatnou odchylku .. (myslim)

snad sem neco nezvoral

nemusí být dobře:

1. P(bude dvojice) = (první karta libovolná tedy 32/32) * ( příznivé možnosti 3 / z karet 31) = 3/31

• vklad = 3/31 výhry (nula od nuly pojde)

• aby to měl výhodné bankéř musí být (vklad) x > 3/31 y (výhry)

2. právě když "26% tramvají ma alespoň jednoho černýho", tak to je Alt(0,26) - tedy pro n tramvají jde o Bi(n, 0.26) a pro deset se to dělá snadno X~Bi(n,0.26) pro P(X>=10)>95% a pak CLVčko a vyjde z toho nějaká kvadratická nerovnice.

3. na čebyševa jsem našel pěkný skripta

4. aby mělo normální rozdělení varX=1 tak stačí zvolit mi=1, ale co s tím laplacem? No a pro N(0,1) mi vyšlo P(|X|>1)=100%, což asi dobře nebylo ;)

5. co jsem slyšel jinak než výčtem to nikdo neřešil, chtělo to kalkulačku:
   1 2 3 4 5 6
   1 1 2 3 4 5 6
   2 2 2 3 4 5 6
   3 3 3 3 4 5 6
   4 4 4 4 4 5 6
   5 5 5 5 5 5 6
   6 6 6 6 6 6 6

rozdělení:
X p
1 1/36
2 3/36
...
6 11/36

a $\mathbf{E}X = \sum_{i=1}^{6} X_i*p_i$ .. a rozptyl podle EX^2-(EX)^2 to je celé

zbytovsky wrote: 5) aby mělo normální rozdělení varX=1 tak stačí zvolit mi=1, ale co s tím laplacem? No a pro N(0,1) mi vyšlo P(|X|>1)=100%, což asi dobře nebylo ;)

Pokud si dobře pamatuji, hustota Laplaceova rozdělení s nulovou střední hodnotou byla zadaná takto:
$$f(x)=\begin{cases} { \beta\over 2} e^{\beta x} & x \geq 0 \\ {\beta\over 2} e^{-\beta x} & x < 0 \\ \end{cases}$$
Od toho, jak je definovaná na Wikipedii se to liší tím, že jako β se bere převrácená hodnota. Rozptyl n.v. X s Laplaceovým rozdělením jsem spočítal takhle:

$$\mathrm{var} X = \int_\mathbb{R} x^2 f(x) \mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} x^2 {\beta\over 2} e^{-\beta |x|} \mathrm{d}x = 2\int_0^\infty x^2 {\beta\over 2} e^{-\beta x}=\int_0^\infty x^2 \beta e^{-\beta x}$$
Potom jsem si všimnul, že to je přesně rozptyl exponenciálního rozdělení Ex(β), tj. β^-2.

A ty pravděpodobnosti

• Normální (Φ je d.f. normálního rozdělení):
  $$P(|X|>1) = 1-P(-1\leq X\leq 1) = 1-(\Phi(1)-\Phi(-1)) = 2-2\Phi(1)$$
  (vyjde to 0.32, ale v písemce jsem to nechal takhle)

• Laplace:
  $$P(|X|>1)=\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x = 2\int_0^1 {1 \over 2} e^{-x} \mathrm{d}x = [-e^{-x}]^1_0 = 1-{1\over e}$$

Podle počtu bodů hádám, že takto je to správně.