Zk. 13.2.2008

Otazky na trochu odlisovali od toho, co sme ocakavali a tomu nasvedcuje aj finalne skore: 1 jednotka, 8 dvojok, 7 trojok, 8 stvoriek, 4 sa radsej ani nedostavili.

Zadanie:

1. rozdiel medzi parovym testom a dvojvyberovym testom, model linearnej regresie, co je to nahodna velicina, co je to diskretny pravdepodobnosti priestor (4x3b)

2. dvaja strelci na striedacku strielaju na terc. (najprv vystreli prvy, potom druhy, po nom opat prvy, atd.). Pravdepodobnost, ze prvy a druhy strelec trafi terc je 0.4 a 0.5. Kazdym dalsim vystrelom sa tato pravdepodonost zvysuje o 0.05. (cize ked striela prvy strelec, tak prvykrat zasiahne terc s p=0.4, druhykrat uz je tato p=0.45, tretikrat p=0.5, atd.). Otazka znie, aka je pravdepodobnost, ze na zaciatku strielal prvy strelec, ak bol terc zasiahnuty az v piatom pokuse? (5b)

3. Na studijne oddelenie MFF pride za den X ziadost. X sa riadi Poissonovym rozdelenim s parametrom 25.
   a) co je to Poisonovo rozdelenie, resp. ako vyzera poissonovo rozdelenie (2b)
   b) overte, ze EX=lambda (3b)
   c) overte, ze varX=lambda (3b)
   d) Aka je pravdepodobnost, ze za 100 dni stravi uradnicka na studijnom aspon 20hodin spracovavanim ziadosti, ak vybavenie jednej ziadosti trva 30sekund. (5b)
   e) Za 100 dni prislo na oddelenie 3250 ziadosti. Otestuje na hladine spolahlivost 5% ci nahodou nie je parameter lambda vacsi nez 25.
   navod: zostrojte nulovy a alternativnu hypotezu a prisluchajuci obor spolahlivosti alebo kriticky obor.

4. 10 lovcov vidi 10 bazantov. Kazdy lovec si vyberie jedneho bazanta, ktoreho zashootuje. Lovci naraz vystrelia, kazdy lovec trafi toho svojho, a ziadny lovec netrafi 2 bazanty naraz. Chceme vediet, kolko bazantov prezije tento masaker? (5b)

Ak som nieco nenapisal presne, opravte ma, prosim.

docela by me zajimalo, jak jste dělali tu čtyřku...

Este by som upresnil 1. otazku o nahodnych velicinach: ulohou bolo popisat nezavislost nahodnych velicin.

V 3e sa konstanta rovnala 2650 ziadosti za 100 dni.

Jochanan wrote:docela by me zajimalo, jak jste dělali tu čtyřku...

n = pocet bazantov = pocet lovcov
X = nahodna velicina "pocet bazantov, co prezije"
X_i = nahodna velicina (indikator javu, aka indicator random variable) "i-ty bazant prezije"

Zaujima nas stredna hodnota X, tj E[X]. Vieme X = sum(i = 1..n) X_i. Potom
E[X] = E[sum(i = 1..n) X_i]
= sum(i = 1..n) E[X_i] (... z linearity strednej hodnoty, X_i ani nemusia byt nezavisle)
= n * E[X_1]
= n * P(prveho bazanta nikto nezasiahne)
= n * ((n-1)^n / n^n) (... kazdy n polovnikov si musi zvolit jedneho z n-1 zostavajucich bazantov)
= n* (1 - 1/n)^n
~ n * 1/e = n/e
Dosadime za n a dostavame: E[X] ~ 10/e = 3.68