Rozstřel

1. Pro čtvercovou matici $A$ řádu $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$ nad tělesem $T$ platí:

   • $\det(A^k) = (\det A)^k$ pro každé $k \in \mathbb{N}$

   • pokud $\det(A^2) = 0$, potom $A$ je singulární

   • $\forall t \in T: \det(tA) = t \det A$

   • je-li $A$ regulární, potom $\det(A^{-1}) = -\det A$

2. Pro matici $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ platí:

   • $A$ je unitární $\Rightarrow |\det A| = 1$

   • $A = iI$, kde $i \in \mathbb{C}$ je imaginární jednotka $\Rightarrow A$ je unitární

   • $A = A^H \Rightarrow A$ je unitární

   • $A$ je unitární $\Rightarrow A$ je hermitovská

3. Má-li $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ různá vlastní čísla $\lambda_1, \lambda_2$ a $v_1, v_2$ jsou jim příslušné netriviální vlastní vektory, potom:

   • $v_1 \perp v_2$ vzhledem k standardnímu skalárnímu součinu

   • $\{v_1, v_2\}$ je lineárně nezávislá množina

   • $\lambda_1 v_1 = \lambda_2 v_2$

   • $v_1 + v_2$ je vlastním vektorem $A$

4. Pro matici $A \in \mathbb{R}^{10 \times 10}$ s jediným vlastním číslem $\lambda$ geometrickou násobností $10$ platí:

   • $A$ je podobná jen sama sobě

   • Jordanova normální forma matice $A$ má jen jeden blok

   • $A - \lambda I$ má hodnost $0$

   • $A$ je diagonální

5. Zobrazení $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ je isometrie pokud:

   • $\forall u, v \in \mathbb{R}^3: u \perp v \Rightarrow f(u) \perp f(v)$

   • $\forall u \in \mathbb{R}^3: ||2u|| = 2\sqrt{\langle f(u) | f(u) \rangle}$

   • $\forall u \in \mathbb{R}^3: 2||u|| = \langle f(2u) | f(2u) \rangle$

   • $\forall u \in \mathbb{R}^3: ||2u|| = 2||f(u)||$

6. Pro Gramovu matici $A$ sestavenou pro bázi $B = (b_1, \dots, b_n)$ prostoru $\mathbb{C}^n$ se skalárním součinem platí:

   • $A$ je symetrická

   • $A$ je pozitivně definitní

   • $A$ je regulární

   • $\forall u, v \in \mathbb{C}^n: \langle u | v \rangle = [v]_B^H A^T [u]_B$

7. Pro každou bilineární formu $f$ na vektorovém prostoru $V$ nad $\mathbb{R}$ a z ní odvozenou kvadratickou formu $g$ platí:

   • $g(u) + f(u,v) + f(v,u) + g(v) = g(u+v)$

   • $g(tu) = t f(u,u)$

   • $g(u-v) = f(u,u) - f(v,v)$

   • $g(u) = 0 \Rightarrow u = 0$

Zkouška

1. Věta o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice

2. Podobné matice a diagonalizace

3. Pomocí Lagrangeovy interpolace proložte nad $\mathbb{Z}_5$ kvadratický polynom body $(2,4), (3,1)$ a $(4,2)$

4. Na prostoru $\mathbb{R}^3$ uvažujme skalární součin $\langle x|y \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 - x_2y_3 - x_3y_2 + 2x_3y_3$. Vzhledem k tomuto nestandardnímu skalárnímu součinu určete nějakou bázi ortogonálního doplňku $V^\perp$ podprostoru $V = \operatorname{span}(\{(1,1,1)^T, (3,3,1)^T\})$.