Zkouška 04.06.2026

V rozstřelu uspěla větší polovina.

Rozstřel

1. Je-li $\det A = 1$, pak platí:

• $\operatorname*{adj}(A)$ je regulární

• $\operatorname*{adj}(A) = \operatorname*{adj}(A^\top)$

• $A = \operatorname*{adj}(A^{-1})$

• $\det(\operatorname*{adj}(A))=1$

2. Pro unitární matici A platí:

• $A^\top$ je unitární

• $A^{-1}$ je unitární

• $A$ je symetrická

• $|\det A| = 1$

3. Pro dvě různá vlastní čísla $\lambda_1$, $\lambda_2$ komplexní matice $A$ řádu 2 platí:

• charakteristický polynom matice $A$ má stupeň 2

• $A$ je diagonální, kde prvky diagonály jsou vlastní čísla $\lambda_1$ a $\lambda_2$

• $\lambda_1\lambda_2=\det A$

• $\lambda_1=\overline{\lambda_2}$ (vlastní čísla jsou komplexně sdružená)

4. Regulární matice $A$ je diagonalizovatelná právě tehdy, když je diagonalizovatelná:

• $2A$

• $-A$

• $A^{-1}$

• $A+A^{T}$

5. Pro libovolný skalární součin a z něj odvozenou normu prostoru $V$ platí:

• $\forall u,v\in V\colon |\langle u\vert v\rangle|\leq\lVert u\rVert + \lVert v\rVert$

• $\forall u,v\in V\colon \lVert u\rVert\leq\lVert v\rVert \Rightarrow\lVert -u\rVert\geq\lVert -v\rVert$

• $\forall u,v\in V\colon \langle u\vert v\rangle + \langle v\vert u\rangle=\lVert u+v\rVert^2-\lVert u\rVert^2-\lVert v\rVert^2$

• $\forall u,v\in V\colon \lVert u\cdot v\rVert\leq\lVert u\rVert+\lVert v\rVert$

6. Je-li $A$ komplexní pozitivně definitní matice řádu $n$, pak:

• $\det(A^\mathsf{H})>0$

• matice $-2A$ má všechny svoje vlastní čísla záporná

• $\forall x\in \mathbb{C}^n\setminus0 \colon (-x)^\mathsf{H}A(-x) < 0$

• $\forall x\in\mathbb{C}^n\setminus 0\colon x^\mathsf{H}A^\mathsf{H}x>0$

7. Nějaké formy

Druhá část

1. Vyslovte a dokažte větu o izometrii a normě.

2. Sepište vše, co víte o vlastních číslech a vlastních sektorech matic.

3. Vypočítejte rozklad matice $A = RDR^{-1}$, kde $D$ je diagonální a $R$ je regulární, a k tomu rozklad $A=U^\mathsf{H}U$. $$A=\begin{vmatrix} \frac{9}{25} & 0 & \frac{12}{25} \\ 0 & 2 & 0 \\ \frac{12}{25} & 0 & \frac{16}{25} \\ \end{vmatrix}$$

4. Spočítejte počet koster tripartitního grafu, kde se partity skládají z $u_1; u_2; v_1, \dots, v_n$