Predtermín Fiala 22 5 2026 SKUPINA B

Rozstřel

druhá část písemky

1. Vyslovte a dokažte větu o konstrukci matice s předepsaným charakteristickým polynomem (8/10).

2. Přehledově sepište, co víte o speciálních komplexních maticích (10). Mimo jiné jiné je nadefinujte (2), uveďte jejich základní vlastnosti (2), souvislost se skalárním součinem (1) a použití při diagonalizaci (2).

3. (20) Rozhodnite, zdali pre každé $n \in \mathbb{N}$ a $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}$, pričom $(x_1, x_2, \dots, x_n)^T \neq 0$, platí: $$\sum_{i=1}^{n} x_i \sqrt{i} < (n + 1) \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}$$

4. (24) Majme maticu $A_n$ rádu $n$: $$A_n = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & \dots & 0 \\ -1 & 2 & 3 & \dots & \vdots \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 3 \\ 0 & 0 & \dots & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

• vyjadrite hodnotu $\det A_n$ pomocou $\det$ matíc $A_{n-1}, \dots, A_1$

• určte $\det(A_6)$