Predtermín Fiala 18 5 2026 SKUPINA B

Ak si pamätáte, že niečo bolo inak tak to prosím opravte

Rozstřel

Bylo celkem 7 otázek. (28)

1. Nech A a B sú regulárne matice rádu n, det(A) = det(B), potom platí:

   • dajú sa previesť na rovnaký odstupňovaný tvar

   • $AR=B$ pre nejakú regulárnu R s determinantom rovným 1

   • množina stĺpcov je rovnaká (akurát môžu byť v inom poradí)

   • $A=B^T$

2. Nech $A \in \Complex^{nxn}$ a je regulárna, potom platí:

   • $A^HA$ je unitárna

   • $A^HA$ je hermitovská

   • $A + A^H$ je hermitovská

   • $A + A^H$ je regulárna

3. Charakteristické polynómy matíc A, B rovnakého rádu sú rovnaké za predpokladu, že:

   • A a B majú rovnaké vlastné čísla aj algebraické násobnosti

   • existuje regulárna $R$ taká, že $B=RAR^{-1}$

   • A sa v odstupňovanom tvare rovná B v odstupňovanom tvare

   • A a B sú podobné

4. Nech $A$ je symetrická, R regulárna a $B=RAR^T$ potom platí:

   • $A+B$ je symetrická

   • $\det A=\det B$

   • B je diagonalizovateľná

   • $A$ a $B$ majú rovnaké vlastné čísla

5. Nech A a B sú pozitívne definitné, potom:

   • $A+2B$ je pozitívne definitná

   • $BA$ je pozitívne definitná

   • $A$ aj $B$ majú všetky vlastné čísla reálne kladné

   • ...

6. Nech $u,v,w$ sú nenulové navzájom kolmé vektory, potom platí:

   • $\langle u + v \mid w \rangle = 0$

   • $(3v-2u) \perp w$

   • $(w+u) \perp w$

   • $u-v$ a $u$ sú lineárne nezávislé

7. Nech $g(u)$ je kvadratická forma, potom platí:

   • $g(tu)=tf(u,u)$

   • $g(u-v)=f(u,u)-f(v,v)$

   • $g(u)=0 \implies u=0$

   • $g(v)+f(u,v)+f(v,u)+g(u)=g(u+v)$

Uveďte a dokažte větu o Choleského rozkladu včetně správnosti algoritmu pro výpočet (10/8).

Prehledově sepište, co víte o ortogonáln´ım doplňku (8). Mimo jiné jej nadefinujte (1) a uveďte jeho souvislost s řešením soustav (1). Uveďte větu o jeho dimenzi (2).

Máme anal. vyjadrenie formy $g(u)=x^2+2y^2+az^2+2xy+2yz$, vzhľadom k štandardnej báze, kde $a$ je reálny parameter. Určte maticu kvadratickej formy $g$ vzhľadom k báze $B=((1,1,0)^T, (0,1,1)^T, (1,0,1)^T)$. Určte signatúru $g$ vzhľadom k parametru $a$.

Určte determinant matice $A \in \R^{6x6}$, $a_{ij}=t^{|i-j|}$, $t \in \R$, $i,j \in \{1,..,6\}$ (nápoveda: rekurencia)