Zkouška, Předtermín - Fiala – 15. 5. 2026

< Zpět na stránku předmětu Lineární algebra 2

Úspešnosť v rozstrele: ~60%

SKUPINA A

Rozstřel

Bylo celkem 7 otázek. (28)

1. Pro čtvercové matice $A, B$ stejného řádu nad stejným tělesem platí:

   • $\det(A) \neq 0 \implies \det(A^{-1}BA) = \det(B)$

   • $\det(AB^T) = \det(BA^T)$

   • $\det(AB) = 0 \implies (\det(A) = 0 \lor \det(B) = 0)$

   • $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$

2. Pro Laplaceovu matici $L_{C_n}$ cyklu $C_n$ pro $n \ge 3$ platí:

   • právě $n$ prvků matice je rovno $-1$

   • matice je singulární

   • $\det L_{C_n}^{1,2} = -n$

   • pokud $n \ge 4$, pak $\det L_{C_n}^{1,1} = \det L_{C_{n-1}}^{1,1} + 1$

3. Pro čtvercové matice $A, B$ a jejich charakteristické polynomy platí:

   • $a_0 = 0 \implies A$ je singulární

   • $p_{A+B}(x) = p_A(x) + p_B(x)$

   • $p_{tA}(x) = t \cdot p_A(x)$ pro libovolný skalár $t$

   • $p_A(x) = p_{A^T}(x)$

4. Dvě čtvercové matice $A, B$ řádu $n$ nad stejným tělesem jsou si podobné, pokud:

   • mají stejný charakteristický polynom

   • existuje regulární $R$ taková, že $A = R^{-1}BR$

   • jsou diagonální a mají stejný determinant

   • mají stejný odstupňovaný tvar

5. Nechť $u_1, \dots, u_n$ jsou lineárně nezávislé komplexní vektory, pak matice $A$ s prvky $a_{i,j} = \langle u_i \mid u_j \rangle$ je:

   • hermitovská

   • unitární

   • regulární

   • pozitivně definitní

6. Nechť $f(u, w)$ je bilineární forma na prostoru $U$, potom:

   • $h(u, w) = f(u, u)$ je bilineární forma na $U$

   • $g(u) = -f(u, u)$ je kvadratická forma na $U$

   • $g(u) = f(u, u) + f(u, u) + f(u, u)$ je kvadratická forma na $U$

   • $h(u, w) = f(w, u) + f(u, w)$ je symetrická bilineární forma na $U$

7. Pro skalární součin v prostoru $V$ nad $\mathbb{C}$ platí:

   • $\forall u, v \in V: (u = 0 \lor v = 0) \iff \langle u \mid v \rangle = 0$

   • $\forall u \in V, \forall t \in \mathbb{C}: \langle tu \mid tu \rangle = t^2 \langle u \mid u \rangle$

   • $\forall u,v,w \in V: \langle u \mid v+w \rangle = \langle u \mid w \rangle + \langle u \mid v \rangle$

   • $\forall u,v \in V: \langle u \mid v \rangle + \langle v \mid u \rangle \in \reals$

Zhruba takhle nějak to bylo. Pokud si to někdo pamatujete lépe, nebojte se otázky upravit.

Druhá část

1. Vyslovte a dokažte tvrzení o pozitivní definitnosti blokové matice (8/8).

2. Přehledově sepište, co víte o výpočtu počtu koster grafu pomocí determinantů (10). Mimo jiné uveďte rekurenci pro počet koster (2), zadefinujte Laplaceovu matici multigrafu (2) a uveďte příslušnou větu (2).

3. (20) Pre ktoré hodnoty parametrov $a, b, c$ bude nasledujúca matica odpovedať izometrii na $\R^2$ (vzhľadom k ľubovoľnej ortonormálnej báze a skalárnemu súčinu)? Určte všetky riešenia. $$a \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ b & c \end{pmatrix}$$

4. (26) Overte, že $v_1 = (1,-1,1,0)^T$ a $v_2= (1,-2,0,-2)^T$ sú vlastné vektory nasledujúcej matice a určte jej Jordanov tvar. $$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\ 4 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 1\end{pmatrix}$$