Hladík 25.5.2010

Varianta B
1)uvažujeme soustavu lineárních rovnic s parametrem t z R;t!=0:
t 0 t^(-1) | 1
0 t t^(2) | t^(-1)
1 t^(2) t^(3) | t^(-2)

a)(3b)pro kterou hodnotu t z <5,10> ma reseni nejmensi moznou prvni slozku?
b)(3b)-||- nejvetsi moznou prvni slozku?

2)(6)V česke republice zije 10,5 milionu obyvatel a kazdy je bud pivar nebo abstinent.Po novorocnim predsevzeti se 20%pivaru vzda alkoholu,ale zaroven 40% abstinentu prijde na chut pivu.Zjistete,zda v roce 2178 bde u nas vice pivaru nez v belgii.Predpokladame,ze demograficka krivka zustane konstantni a v belgii tou dobou bude 6,5 mil pivaru.

3. Definujte pojem Jordanova bunka(1)
   Zformulujte a dokazte vetu o spektralnim rozkladu symetricke matice(8)

4)rozhodnete a zduvodnete ktere z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva
Jsou li matice A,B podobne,pak i A-I,B-I jsou podobne
Bud A positivne semidefinitni matice,zvetsime li prvek a11,dostaneme opet positivne semidefinitni matici.
Pro kazdou kvadratickou formu f:V-->R a x,y z V plati f(x+y)=f(x)+f(y)
Pro kazdou matici A plati (AA+)^T=AA+.

Bylo nas tam 10,petku prej nedostal nikdo,na opravu zustalo 5 lidi s tim ze 1 clovek odesel se ctyrkou.ja si zkousel vylepsit trojku,ale nepovedlo se..
Kazdej co se snazil neco vylepsit si tahal papirek asi z 30 ruznejch papirku,na mym bylo:Vlastn9 vektory pri ruznych vlastnich cislech,jeste jsem zaslechl otazku na sylvestruv zakon setrvacnosti kvadratickych forem

Tak já taky přihodim verzi A, ale koukám, že je to vlastně to samý jako béčko:

Zkouška Lineární algebra II, 25.5.2010, verze A

1. Uvažujme soustavu lineárních rovnic s parametrem $t \in \mathbb{R}, t eq 0$:
$$\left( \begin{array}{ccc|c} t & 0 & t^{-1} & 1 \\ 0 & t & t^2 & t^{-1}\\ 1 & t^{2} & t^{3} & t^{-2} \end{array} \right)$$
(a) Pro kterou hodnotu $ t eq 0$má řešení nejmenší možnou třetí složku? **3 body** (b) Pro kterou hodnotu$ t \in \langle-2,0)$ má řešení největší možnou třetí složku? 3 body

2. V České republice žije 10,5 mil. obyvatel a každý je buď pivař nebo abstinent. Po novoročním předsevzetí se 20% pivařů vzdá alkoholu, ale zároveň 40% abstinentů přijde na chuť pivu. Zjistěte zda v roce 2178 bude u nás více pivařů než v Belgii. Předpokládáme, že demografická křivka zůstane konstantní a v Belgii tou dobou bude 6,5 mil. pivařů. 6 bodů

3. Definujte pojem Jordanova normální forma. 1 bod
Zformulujte a dokažte větu o spektrálním rozkladu symetrické matice. 7 bodů

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
(a) Jsou-li matice A, B podobné, pak i A + I, B + I jsou podobné 2 body
(b) Buď A positivně definitní matice. Zvětšíme-li prvek $a_{11}$ , dostaneme opět positivně definitní matici. 2 body
(c) Pro každou kvadratickou formu $f : V \mapsto \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, x \in V$ platí $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ 2 body
(d) Pro každou matici A platí $(A^{\dagger} A)^T = A^{\dagger} A$ 2 body

cim bych mel resit tu prvni soustavu linearnich rovnic?