# Hladík 25.5.2010

<{ForumPost(poster="Animaniak", timestamp=2010-05-25 15:07:41)}>
Varianta B  
1)uvažujeme soustavu lineárních rovnic s parametrem t z R;t!=0:  
t        0        t^(-1) | 1  
0       t         t^(2)  | t^(-1)  
1       t^(2)   t^(3)  | t^(-2)  
  
a)(3b)pro kterou hodnotu t z <5,10> ma reseni nejmensi moznou prvni slozku?  
b)(3b)-||- nejvetsi moznou prvni slozku?  
  
2)(6)V česke republice zije 10,5 milionu obyvatel a kazdy je bud pivar nebo abstinent.Po novorocnim predsevzeti se 20%pivaru vzda alkoholu,ale zaroven 40% abstinentu prijde na chut pivu.Zjistete,zda v roce 2178 bde u nas vice pivaru nez v belgii.Predpokladame,ze demograficka krivka zustane konstantni a v belgii tou dobou bude 6,5 mil pivaru.  
  
3)  
Definujte pojem Jordanova bunka(1)  
Zformulujte a dokazte vetu o spektralnim rozkladu symetricke matice(8)  
  
4)rozhodnete a zduvodnete ktere z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva  
Jsou li matice A,B podobne,pak i A-I,B-I jsou podobne  
Bud A positivne semidefinitni matice,zvetsime li prvek a11,dostaneme opet positivne semidefinitni matici.  
Pro kazdou kvadratickou formu f:V-->R a x,y z V plati f(x+y)=f(x)+f(y)  
Pro kazdou matici A plati (AA+)^T=AA+.  
  
Bylo nas tam 10,petku prej nedostal nikdo,na opravu zustalo 5 lidi s tim ze 1 clovek odesel se ctyrkou.ja si zkousel vylepsit trojku,ale nepovedlo se..  
Kazdej co se snazil neco vylepsit si tahal papirek asi  z 30 ruznejch papirku,na mym bylo:Vlastn9 vektory pri ruznych vlastnich cislech,jeste jsem zaslechl otazku na sylvestruv zakon setrvacnosti kvadratickych forem
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="ostan", timestamp=2010-05-25 15:12:45)}>
Tak já taky přihodim verzi A, ale koukám, že je to vlastně to samý jako béčko:  
  
Zkouška Lineární algebra II, 25.5.2010, verze A  
  
**1.** Uvažujme soustavu lineárních rovnic s parametrem $t \in \mathbb{R}, t 
eq 0$:  
 $$\left( \begin{array}{ccc|c} t & 0 & t^{-1} & 1 \\ 0 & t & t^2 & t^{-1}\\ 1 & t^{2} & t^{3} & t^{-2} \end{array} \right)$$  
(a) Pro kterou hodnotu $ t 
eq 0$ má řešení nejmenší možnou třetí složku? **3 body**  
(b) Pro kterou hodnotu  $ t \in \langle-2,0)$ má řešení největší možnou třetí složku? **3 body**  
  
**2.** V České republice žije 10,5 mil. obyvatel a každý je buď pivař nebo abstinent. Po novoročním předsevzetí se 20% pivařů vzdá alkoholu, ale zároveň 40% abstinentů přijde na chuť pivu. Zjistěte zda v roce 2178 bude u nás více pivařů než v Belgii. Předpokládáme, že demografická křivka zůstane konstantní a v Belgii tou dobou bude 6,5 mil. pivařů. **6 bodů**  
  
**3.** Definujte pojem Jordanova normální forma. **1 bod**  
Zformulujte a dokažte větu o spektrálním rozkladu symetrické matice. **7 bodů**  
  
**4.** Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:  
(a) Jsou-li matice *A*, *B* podobné, pak i *A + I*, *B + I* jsou podobné **2 body**  
(b) Buď *A* positivně definitní matice. Zvětšíme-li prvek $a_{11}$ , dostaneme opět positivně definitní matici. **2 body**  
(c) Pro každou kvadratickou formu $ f : V \mapsto \mathbb{R},  \alpha \in \mathbb{R}, x \in V$ platí $ f(\alpha x) = \alpha f(x)$ **2 body**  
(d) Pro každou matici *A* platí $ (A^{\dagger} A)^T = A^{\dagger} A $  **2 body**
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="rockford", timestamp=2011-06-05 13:14:18)}>
cim bych mel resit tu prvni soustavu linearnich rovnic?
<{/ForumPost}>