Hladík - 23.5.2012 předtermín

Varianta A

1. Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu. (7)
   Definujte dererminant. (1)

2. (a) Najděte matici projekce P do podprostoru $V= span\{(1,2,2)^T,(-1,2,0)^T\}$. (2)
   (b) Rozložte P na součin $P=UU^T$ pro vhodnou matici $U \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$. (4)

3. Buď
   $$A = \left (\begin{matrix} 3 &1 &2 \\ 1 &4 &1 \\ 2 &1 &3 \end{matrix} \right )$$.
   (a) Najděte vlastní čísla $$\lambda _1,\lambda _2, \lambda_3$ matice A. (2)
   (b) Aplikujte větu o deflaci dominantního vlastního čísla. (2)
   (c) Rozložte matici $A=A_1 + A_2 + A_3$ na součet tří matic hodnosti 1 tak,aby $\lambda_i$ bylo vlastním číslem $A_i$. (2)

4. Rozhodněte a zdůvodněte,která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
   (a) Jsou-li sloupce matice $A \in \mathbb{R}^{m \times n }$ ortonormální vektory, potom $A^T A = I_n$. (2)
   (b) Hodnost matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ je rovna počtu nenulových vlastních čísel A. (2)
   (c) Buď A positivně definitní matice. Zvětšíme-li prvek a₁₁, dostaneme opět positivně definitní matici. (2)
   (d)Jsou-li $b,c : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dvě bilineární formy, pak b+c je také bilineární forma. (2)

4.c,d je ANO (možná později i napíšu odůvodnění )
Tak kdo máte co správně tak to napište .