# Hladík - 23.5.2012 předtermín

<{ForumPost(poster="Sipral", timestamp=2012-05-24 00:09:24)}>
**Varianta A**  
1. Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu.  **(7)**  
Definujte dererminant.  **(1)**  
  
2. (a) Najděte matici projekce *P* do podprostoru $ V= span\{(1,2,2)^T,(-1,2,0)^T\} $.  **(2)**  
(b) Rozložte *P* na součin $ P=UU^T $ pro vhodnou matici $U \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$.  **(4)**  
  
3. Buď   
$$  A = \left (\begin{matrix} 3 &1  &2 \\  1 &4  &1 \\   2 &1  &3  \end{matrix}  \right ) $$.  
(a) Najděte vlastní čísla $$ \lambda _1,\lambda _2, \lambda_3$ matice *A*.  **(2)**  
(b) Aplikujte větu o deflaci dominantního vlastního čísla. **(2)**  
(c) Rozložte matici $ A=A_1 + A_2 + A_3 $ na součet tří matic hodnosti 1 tak,aby $\lambda_i $ bylo vlastním číslem $ A_i $.  **(2)**  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte,která z následujících tvrzení jsou pravdivá:  
(a) Jsou-li sloupce matice $ A \in \mathbb{R}^{m \times n } $ ortonormální vektory, potom $A^T A = I_n$.  **(2)**  
(b) Hodnost matice $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ je rovna počtu nenulových vlastních čísel *A*.  **(2)**  
(c) Buď *A* positivně definitní matice. Zvětšíme-li prvek  a<sub>11</sub>, dostaneme opět positivně definitní matici.  **(2)**  
(d)Jsou-li $ b,c  : V \times V  \rightarrow \mathbb{R}$ dvě bilineární formy, pak *b+c* je také bilineární forma.  **(2)**  

----
4.c,d je ANO (možná později i napíšu odůvodnění )   
Tak kdo máte co správně tak to napište .
<{/ForumPost}>