Hladík 20.5.2013

90min test, 2 oddělení, na trojku byl potřeba 11/28b

verze B

1. Zformulujte a dokažte Cayley-Hamiltonovu větu
   Zformulujte větu o spektrálním rozkladu

2. Určete Jordanovu normální formu adj(B).A.B
   kde $A=\begin{array}{ccc}3&1&3\\1&2&2\\0&-1&1\end{array}$

A=
3.1.3
1.2.2
0.-1.1

B=
5.2.1
1.5.3
2.2.1

3. Mějmě nad R^3 formu
   f(x) = $x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 6x_1x_3 + 4x_2x_3$
   Rozložte R^3 na podprostory U, V, tak, aby f byla pozitivně definitní na U a -f pozitivně definitní na V

4. Matice projekce do daného podprostoru je určena jednoznačně
   Buď A reálná čtverc. matice. Potom A^2 nemůže obsahovat vlastní číslo -1
   Je-li f kvadr. forma, potom a*f je kvadr. forma
   Hodnost matice je rovna počtu nennulových vl. čísel

Oddělení A

1. Zformulujte a dokažte GS ortogonalizaci

2. Určete JNF matice BAadj(B)
   $$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -1 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right)$$
   $$B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$$

3. Mějme kvadr formu na $\mathbb{R}^{3}$
   $$f(x) = x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{3} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3}$$
   Rozložte R^3 jako součet R^3 = U + V tak, aby f byla pozdef na U a -f pozdef na V

4. a) Matice projekce na přímku span(u), kde $u \in R^n, ||u||_{2} = 1$, je rovna $uu^{T}$ b) Buď $A \in R^{n\times n}$. Matice $A^{2}$ má vždy reálná vlčísla c) Jsou-li f,g: V -> R dvě kvadrformy, pak f+g je kvadrforma d) Hodnost matice $A \in R^{n\times n}$ je rovna počtu nenulových vlčísel A