# Hladík 20.5.2013

<{ForumPost(poster="dveře", timestamp=2013-05-20 13:48:30)}>
90min test, 2 oddělení, na trojku byl potřeba 11/28b  
  
verze B  
  
1) Zformulujte a dokažte Cayley-Hamiltonovu větu  
Zformulujte větu o spektrálním rozkladu  
  
2) Určete Jordanovu normální formu adj(B).A.B  
kde $A=\begin{array}{ccc}3&1&3\\1&2&2\\0&-1&1\end{array}$
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="dveře znova", timestamp=2013-05-20 13:55:32)}>
A=  
3.1.3  
1.2.2  
0.-1.1  
  
B=  
5.2.1  
1.5.3  
2.2.1  
  
3)  
Mějmě nad R^3 formu  
f(x) = $x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 6x_1x_3 + 4x_2x_3$  
Rozložte R^3 na podprostory U, V, tak, aby f byla pozitivně definitní na U a -f pozitivně definitní na V  
  
4)  
Matice projekce do daného podprostoru je určena jednoznačně  
Buď A reálná čtverc. matice. Potom A^2 nemůže obsahovat vlastní číslo -1  
Je-li f kvadr. forma, potom a*f je kvadr. forma  
Hodnost matice je rovna počtu nennulových vl. čísel
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Dunčo", timestamp=2013-05-20 14:07:49)}>
Oddělení A  
1. Zformulujte a dokažte GS ortogonalizaci  
2. Určete JNF matice B*A*adj(B)  
$$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -1 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right)$$  
$$B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$$  
3. Mějme kvadr formu na $\mathbb{R}^{3}$  
$$f(x) = x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{3} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3}$$  
Rozložte R^3 jako součet R^3 = U + V tak, aby f byla pozdef na U a -f pozdef na V  
4. 	a) Matice projekce na přímku span(u), kde $u \in R^n, ||u||_{2} = 1$, je rovna $uu^{T}$  b) Buď $A \in R^{n\times n}$. Matice $A^{2}$ má vždy reálná vlčísla  c) Jsou-li f,g: V -> R dvě kvadrformy, pak f+g je kvadrforma  d) Hodnost matice $A \in R^{n\times n}$ je rovna počtu nenulových vlčísel A
<{/ForumPost}>