Předtermín 19.5.2008

Ve zkoušce jsme měli toto:

1. definice: pozitivně definitní matice

2. věta: Sylvestrův zákon o setrvačnosti kvadratických forem

3. tvrzeníčka (rozhodněte zda platí a zdůvodněte )
   a) Je-li x vlastním vektorem matice A, pak je i vlastním vektorem matice A^-1. Fiala zapomněl předpoklad, že A musí být regulární, ale měli jsme počítat s tím, že je, dokonce uznal, že tvrzení platit nemusí pravě kvůli tomuto chybějícímu předpokladu)
   b) Je-li A matice zobrazení z f:R^n -> R^n a det A = 0, pak f zachovává normu vektorů odvozenou od standardního skalárního součinu.
   c) Je-li A singulární, pak má jedié vlastní číslo 0.

4. Příklad na hledání vlastních vektorů matice 3 x 3

5. Určení, zda je matice pozitivně definitní a pokud ano, tak nalezení Choleského rozkladu matice 3 x 3.

6. Řešení úlohy LP simplexovou metodou - dvě proměnné, tři nerovnice.

Tvrzeníčka:
a) platí, stačí Ax = lambda*x vynásobit 1/lambda a zleva A^-1
b) neplatí, protipříklad:
2 0
0 0,5
c) neplatí, protipříklad:
1 0
0 0

Příklady byli hodně jednoduché.

b) Je-li A matice zobrazení z f:R^n -> R^n a dim A = 0, pak f zachovává normu vektorů odvozenou od standardního skalárního součinu.

1] dim A = 0 -> neznamena to, ze matice A je nulova? podle jedne vety je: dim(A) = hodnosti(A)
2] Takze se ma vyvratit, ze ||f(x)|| = ||x|| ... kde norma je definovana jako: sqrt(<x|x>) )

Diky

Jo vidíš, měl jsem tam chybu... determinant má být roven nule..

To byl Kolmanův, nebo Fialův předtermín?

Viz

Fiala zapomněl předpoklad, že A musí být regulární, ale měli jsme počítat s tím, že je, dokonce uznal, že tvrzení platit nemusí pravě kvůli tomuto chybějícímu předpokladu)