Zkouška Fiala 04.06. 2026 B

Rozstřel:

1. Pokud dvě regulární matice $A$ a $B$ stejného řádu mají stejný determinant, potom:

   • $\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(B)$

   • platí $B = RA$ pro nějakou regulární matici $R$ s determinantem 1

   • $A = B^T$

   • mají stejné množiny sloupců, jen v jiném pořadí

2. Pro Laplaceovu matici $L_{C_n}$ cyklu $C_n$ na $n \ge 3$ vrcholech platí:

   • pokud $n \ge 4$, pak $\det L_{C_n}^{1,1} = \det L_{C_{n-1}}^{1,1} + 1$

   • právě $n$ prvků má hodnotu $-1$

   • vektor $(1, 1, \dots, 1)^T \in \mathbb{R}^n$ je vlastním vektorem

   • $L_{C_n}$ je singulární

3. Komplexní matice $A$ a $B$ mají stejný charakteristický polynom za předpokladu, že:

   • mají stejná vlastní čísla včetně algebraické násobnosti

   • existuje regulární matice $R$ taková, že $A = RBR^{-1}$

   • obě lze Gaussovou eliminací převést na stejný řádkově odstupňovaný tvar

   • $A$ a $B$ jsou si podobné

4. Pokud je matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ symetrická a $B = RAR^T$ pro nějakou regulární matici $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak:

   • $B$ je symetrická

   • $\det(A) = \det(B)$

   • $A$ a $B$ mají stejná vlastní čísla včetně algebraické násobnosti

   • $B$ je diagonalizovatelná

5. Pro libovolný skalární součin v prostoru $V$ nad $\mathbb{C}$ platí:

   • $\forall u,v \in V: (u=0 \lor v=0) \iff \langle u \mid v \rangle = 0$

   • $\forall u \in V, \forall t \in \mathbb{C}: \langle tu \mid tu \rangle = t^2 \langle u \mid u \rangle$

   • $\forall u,v,w \in V: \langle u \mid v+w \rangle = \langle u \mid w \rangle + \langle u \mid v \rangle$

   • $\forall u,v \in V: \langle u \mid v \rangle + \langle v \mid u \rangle \in \mathbb{R}$

6. Množina reálných pozitivně definitních matic je uzavřena na:

   • součet matic

   • inverzi matic

   • součin matic

   • skalární násobek matic libovolným skalárem z $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

7. Matice kvadratické formy $g(u) = u_1^2 + 4u_1u_2 + u_2^2$ na $\mathbb{R}^2$ vzhledem ke standardní bázi:

   • je pozitivně definitní

   • je horní trojúhelníková

   • má signaturu $(1,1,0)$

   • je regulární

2. Část:

1. Vyslovte a dokažte větu o ortogonálním doplňku, mj. o jeho dimenzi (6/12).

2. Přehledově sepište, co víte o aplikacích determinantů (12). Mimo jiné zadefinujte adjungovanou matici (2) a zformulujte Cramerovo pravidlo (2) a Cayleyovu–Hamiltonovu větu (3).

Příklad 1: Lineární zobrazení $f$ na $\mathbb{R}^3$ je dané předpisem $f(x) = Ax$, kde matice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

Pokud existuje, najděte bázi $B$ vektorového prostoru $\mathbb{R}^3$, vůči které má $f$ diagonální matici.

Příklad 2: Je dána matice $$\begin{pmatrix} 4 & a & 2 \\ a & a & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Pro které hodnoty parametru a je tato matice pozitivně definitní?