Zkouška Fiala 04.06. 2026 B

Rozstřel:

  1. Pokud dvě regulární matice A a B stejného řádu mají stejný determinant, potom:

    • \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(B)

    • platí B = RA pro nějakou regulární matici R s determinantem 1

    • A = B^T

    • mají stejné množiny sloupců, jen v jiném pořadí

  2. Pro Laplaceovu matici L_{C_n} cyklu C_n na n \ge 3 vrcholech platí:

    • pokud n \ge 4, pak \det L_{C_n}^{1,1} = \det L_{C_{n-1}}^{1,1} + 1

    • právě n prvků má hodnotu -1

    • vektor (1, 1, \dots, 1)^T \in \mathbb{R}^n je vlastním vektorem

    • L_{C_n} je singulární

  3. Komplexní matice A a B mají stejný charakteristický polynom za předpokladu, že:

    • mají stejná vlastní čísla včetně algebraické násobnosti

    • existuje regulární matice R taková, že A = RBR^{-1}

    • obě lze Gaussovou eliminací převést na stejný řádkově odstupňovaný tvar

    • A a B jsou si podobné

  4. Pokud je matice A \in \mathbb{R}^{n \times n} symetrická a B = RAR^T pro nějakou regulární matici R \in \mathbb{R}^{n \times n}, pak:

    • B je symetrická

    • \det(A) = \det(B)

    • A a B mají stejná vlastní čísla včetně algebraické násobnosti

    • B je diagonalizovatelná

  5. Pro libovolný skalární součin v prostoru V nad \mathbb{C} platí:

    • \forall u,v \in V: (u=0 \lor v=0) \iff \langle u \mid v \rangle = 0

    • \forall u \in V, \forall t \in \mathbb{C}: \langle tu \mid tu \rangle = t^2 \langle u \mid u \rangle

    • \forall u,v,w \in V: \langle u \mid v+w \rangle = \langle u \mid w \rangle + \langle u \mid v \rangle

    • \forall u,v \in V: \langle u \mid v \rangle + \langle v \mid u \rangle \in \mathbb{R}

  6. Množina reálných pozitivně definitních matic je uzavřena na:

    • součet matic

    • inverzi matic

    • součin matic

    • skalární násobek matic libovolným skalárem z \mathbb{R} \setminus \{0\}

  7. Matice kvadratické formy g(u) = u_1^2 + 4u_1u_2 + u_2^2 na \mathbb{R}^2 vzhledem ke standardní bázi:

    • je pozitivně definitní

    • je horní trojúhelníková

    • má signaturu (1,1,0)

    • je regulární

2. Část:

  1. Vyslovte a dokažte větu o ortogonálním doplňku, mj. o jeho dimenzi (6/12).

  2. Přehledově sepište, co víte o aplikacích determinantů (12). Mimo jiné zadefinujte adjungovanou matici (2) a zformulujte Cramerovo pravidlo (2) a Cayleyovu–Hamiltonovu větu (3).

Příklad 1: Lineární zobrazení f na \mathbb{R}^3 je dané předpisem f(x) = Ax, kde matice A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Pokud existuje, najděte bázi B vektorového prostoru \mathbb{R}^3, vůči které má f diagonální matici.

Příklad 2: Je dána matice \begin{pmatrix} 4 & a & 2 \\ a & a & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} Pro které hodnoty parametru a je tato matice pozitivně definitní?