Zkouška Lineární algebra 2, 3. 6. 2025, skupina B

1. Označme $A_n$ matici $n \times n$, která má na hlavní diagonále a na sousední horní diagonále samé jedničky, na sousední dolní diagonále samé minus jedničky a všude jinde nuly, např. $A_1 = (1)$, $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $A_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$.

Dále označme $D_n = \det(A_n)$.

(a) Vyjádřete $D_n$ co nejjednodušeji pomocí $D_{n-1}, D_{n-2}, \ldots$.$^1$ (5)

(b) Spočítejte $D_{11}$. (5)

2.

a) Definujte pozitivně definitní matice. (5)

b) Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. (10)

3.

a) Formulujte alespoň jednu nutnou a postačující podmínku pro to, aby byla matice diagonalizovatelná. (5)

b) Mějme lineární zobrazení $f$ na vektorovém prostoru $V = \mathbb{R}^3$ dané předpisem $f(x) = Cx$, kde $C = \begin{pmatrix} \frac{7}{3} & -\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{2}{3} & 2 & -\frac{2}{3} \\ 0 & -\frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix}$. Pokud existuje, najděte bázi $B$ vektorového prostoru $V$, vůči které má lineární zobrazení $f$ diagonální matici. (10)
POZN: Kolman řekl že jedno vlastní číslo je $1$.

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

(a) Jsou-li $A$ i $A^{-1}$ celočíselné matice, pak $|\det(A)|$ i $|\det(A^{-1})|$ je 1. (5)

(b) Pro každé dvě matice $A$, $B$ typu $n \times n$ platí: Součin vlastních čísel matice $AB$ je roven společnému součinu vlastních čísel matic $A$ a $B$. (5)

(c) Má-li matice $A$ jediný (až na násobky) vlastní vektor $(1, 0, 0)^T$, pak není diagonalizovatelná. (5)

$^1$ Nápověda: Laplaceův rozvoj