Zkouška Kolman 27.5. 2025 A

Co víte o vlastních vektorech příslušných k různým vlastním číslům dané matice? Přesně formulujte a dokažte. (15)
Rozhodněte, zda matice $C = \begin{pmatrix} -7 & -4 & -8 \\ 4 & 3 & 4 \\ 8 & 4 & 9 \end{pmatrix}$ a $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ jsou podobné. (15)
a) Napište znění Sylvestrova zákona setrvačnosti kvadratických forem. (5)
b) Nechť $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Najděte matici $B$ a diagonální matici $D$ takové, že $BAB^T = D$ . (10)
Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Determinant matic $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16 & 15 & 14 & 13 \end{pmatrix}$ a $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ je stejný. (5)
b) Pro každé dvě matice $A, B$ (typu $n \times n$ ) komplexních čísel platí: Jsou-li $\lambda_1,...,\lambda_n$ vlastní čísla matice $A$ a $\lambda_1',...,\lambda_n'$ vlastní čísla matice $B$ (každé vlastní číslo bereme s jeho algebraickou násobností), pak $\lambda_1 \cdot \lambda_1',...,\lambda_n \cdot \lambda_n'$ jsou vlastní čísla matice $(AB)$ . (5)
c) Kvadratická forma $f(x) = x^T\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}x$ na $\mathbb{R}^2$ nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru $x = (0,0)^T.$ (5)