Zkouška Kolman 23.5. 2025

1. Označme $A_n$ matici $n \times n$, která má na hlavní diagonále a dvou sousedních diagonálách samé jedničky a všude jinde nuly, např. $A_1 = (1)$, $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ atd. Dále označme $D_n = det(A_n)$.

   (a) Vyjádřete $D_n$ co nejjednoduššeji pomocí $D_{n-1}, D_{n-2},...$ (5)

   (b) Spočítejte $D_{1000}$ (5)

2. a) Definujte pojmy: podobné matice, diagonizovatelná matice. (5)

   b) Formulujte a dokažte větu popisující nutnou a postačující podmínku pro to, aby matice byla diagonizovatelná. (10)

3. a) Napište znění Sylvestrova zákona setrvačnosti kvadratických forem. (5)

   b) Mějme kvadratickou formu $f$ (na vektorovém prostoru $V = \R^3$) danou předpisem $$f(x)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2$$ a nechť B je nějaká taková báze vektorového prostoru V, že f má vůči ní diagonální matici (není-li B jednoznačná, vyberte si libovolnou). Najděte matici přechodu od báze B ke kanonické bázi. (10)

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

   (a) Je-li $A$ celočíelná matice a $\det(A)$ je roven $1$ nebo $-1$, pak $A^{-1}$ je rovněž celočíselná. (5)

   (b) Pro každé dvě matice $A$,$B$ typu $n\times n$ platí: Součet vlastních čísel matice $(A+B)$ je roven společnému součtu vlastních čísel matic $A$ a $B$ (5).

   (c) Má-li matice $A$ jediný (až na násobky) vlastní vektor $(1,0,0)^T$, pak neexistuje $A^{-1}$ (5)

Hodnocení: 1: $55 - 47$, 2: $46 - 40$, 3: $39 - 33$, 3-: $32 - 28$