5.6.2014 Hladík

Skupina A:

1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti.

2. Najděte matici projekce na přímku $p=span \{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \end{array} \right)^T \}$ při nestandartním skalárním součinu:
   $<x,y>^*=4$x${}_1$y${}_1-2$x${}_1$y${}_3+$x${}_2$y${}_2-2$x${}_3$y${}_1+5$x${}_3$y${}_3$

3. Buď
   $A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\2 & 0 & 2 \\1 & 2 & 1 \end{array} \right)$ a) Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A.
   b) Rozhodněte zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $x=( \begin{array}{ccc}3&-1&1 \end{array})^T$

4)Rozhodněte a zdůvodněte:
a) Buď V podprostor $R^n$ a $u{}_1,...,u{}_n$ jeho ortonormální báze. Pak matice projekce V má tvar $P= \sum\limits_{i=1}^m$u${}_i$u${}_i^T$ b) Pro prostory U,V,W platí že V $\subset$ W(doplněk) U(doplněk) $\subset$ V, potom W $\subset$ U
c) Jsou-li matice $A^{-1},$B^{-1}$ podobné, pak si jsou matice A, B podobné.
d) Buď A positivně semidefinitivní matice řádu n. Přičteme-li ke keždému prvku A jedničku dostaneme positivně definitivní matici.

Skupina B:

1. Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci

2. Najděte matici projekce na přímku $p = span\{(3,2,1)^T\}$ při nestandardním skalárním součinu $\langle x,y\rangle^* = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3$

3. $A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ a) Najděte vlastní čísla $\lambda_1,\lambda_3,\lambda_3$ a odpovídající vlastní vektory
   b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $x = (3,1,1)^T$

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá
   a) V podprostor $\mathbb{R}^n, u_1, ..., u_m$ jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar $P = \sum\limits_{i=1}^{m}u_iu_i^T]$ b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud $U\subseteq V^\perp$, tak $W\subseteq U^\perp$ c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i $A^{-1},B^{-1}$ jsou podobné
   d) Pro každé $A, B \in\mathbb{R}^{n\times n}$ je matice $A(A + B^T)(A^T + B)A^T$ positivně semidefinitní.