28.5.2015 Hladík

Skupina A

1. (8 bodov)
   Zformulujte a dokažte Cayleyho-Hamiltonovu větu.
   Definujte pojem bilineární forma.

2. (6 bodov)
   Rozhodněte, zda bilineární forma $b(x,y)=x^T A y$ tvoří skalární součin na prostoru $V=\text{span}\{(2,2,-1)^T,(1,0,1)^T\}$ $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

3. (6 bodov)
   Buď
   $$A = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$$

Spočítejte $\det(I_2 + A + A^2 + A^3 + ...)$

Výsledek: $\det = 2$

4. (8 bodov) - každé po dva body
   Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
   (a) Buď $v_U$ projekce vektoru $v$ na podprostor $U$, a buď $u \in U$ libovolné.
   Pak $\| u - v \|^2 = \| v - v_U \|^2 + \| v_U - u \|^2$
   (b) Matice $\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ je podobná jen sama sobě.
   (c) Spektrální rozklad symetrické matice s navzájem různými vlastními čísly je jednoznačný.
   (d) Buď $A = \{ (1,2) , (2,3) \}$. Pak existuje matice $S$ taková, že $S^T A S = I$.

Skupina B

1. Důkaz Choleského rozkladu. Definujte Determinant.
   Víc bohužel nevím.

Známky - pestré, ale oproti LAI mi přišlo mírnější opravování

4 - 6 - 10
3 - 11 - 16
2 - 17 - 21
1 - 22+

Skupina B:
1.) Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu (existenci a jednoznačnost). (7b)
Definujte pojem determinant (1b)
2.) Rozhodnete, zda bilineární forma $b(x,y)=x^T A y$, kde
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

tvoří skalární součin na prostoru $V = \text{span} \{ (1,-1,-2)^T,(1,1,1)^T \}$. (6b)
3.)
$A= \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}$ Spočítejte $\det(I + A + A^2 + ...)$. (6b)
4.
a) Pokud $P,Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ jsou ortogonální, pak i $P^{-1}Q$ je ortogonální (2b)
b) Mají-li 2 matice stejná vlastní čísla, tak jsou podobné (2b)
c) Je-li $A$ symetrická reálná matice, pak $iA$ nemá reálné nenulové vlastní číslo. (2b)
d) Buď $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Pak existuje matice $S$ taková, že $S^T A S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$. (2b)

Celkem 28b, stupnice stejná.
Ak som niečo poplietol tak sorry, snáď si to niekto všimne :) Pekný víkend a gl hf so skúškami.

Nevíte někdo prosím, jak by se dělala ta dvojka? Díky
BTW Myslím, že ta trojka měla teda vyjít $\frac{12}{11}$. Udělal jsem stejnou blbost, ale pak jsem si vlastně uvědomil, že
$$\det\left( \frac{1}{24} A \right) = \frac{1}{24^2} \det(A)$$

Srry, cele jsem to nějak špatně pochopil. Kdybych mohl příspěvek smazat, tak to udělám :)